📚 MATHSKILLER 天書級教材系列
P2-2
三角形四心
Triangle Centres
© 2025 MathsKiller
四心總覽
🔵 內心 Incentre
• 三條角平分線的交點
• 是內切圓的圓心
• 到三邊距離相等（= 內切圓半徑）
🟢 外心 Circumcentre
• 三條垂直平分線的交點
• 是外接圓的圓心
• 到三頂點距離相等（= 外接圓半徑）
🟡 重心 Centroid
• 三條中線的交點
• 把中線分成 2:1（靠頂點:靠中點）
• 三角形的「重量中心」
🔴 垂心 Orthocentre
• 三條高的交點
• 銳角三角形：垂心在內部
• 直角三角形：垂心在直角頂點
• 鈍角三角形：垂心在外部
⚡ 記憶提示
⚡ 記憶提示
垂心高
（內心用角平分線，外心用垂直平分線，重心用中線，垂心用高）
📊 四心對照表
| 四心 | 相交線 | 特性 | DSE 考點 |
|---|
| 內心 I | 角平分線 | 到三邊等距 | 內切圓半徑 |
| 外心 O | 垂直平分線 | 到三頂點等距 | 外接圓半徑 |
| 重心 G | 中線 | 分中線為 2:1 | 坐標計算 |
| 垂心 H | 高 | 位置取決於三角形類型 | 直角三角形 |
📋 DSE 歷屆真題
DSE 2022 Q36
題目：△ABC 的頂點坐標為 A(2, 6)、B(8, 2)、C(4, -2)，求重心坐標。
📝 秒殺公式
重心 = $\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}, \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
$= \left(\dfrac{2+8+4}{3}, \dfrac{6+2+(-2)}{3}\right) = \mathbf{\left(\dfrac{14}{3}, 2\right)}$
DSE 2020 Q38
題目：I 是 △ABC 的內心，若 ∠BAC = 50°，求 ∠BIC。
📝 秒殺公式
內心角公式：$\angle BIC = 90° + \dfrac{\angle A}{2}$
$= 90° + \dfrac{50°}{2} = 90° + 25° = \mathbf{115°}$
📝 練習題
1. △ABC 的頂點為 A(0, 0)、B(6, 0)、C(3, 6)，求重心坐標。
2. I 是 △ABC 的內心，若 ∠ABC = 60°、∠BCA = 80°，求 ∠BIC。
3. 直角三角形的垂心在哪裡？
📋 答案
1. (3, 2) 2. 110° 3. 直角頂點
📊 四心對照表
| 四心 | 相交線 | 特性 | DSE 考點 |
|---|
| 內心 I | 角平分線 | 到三邊等距 | 內切圓半徑 |
| 外心 O | 垂直平分線 | 到三頂點等距 | 外接圓半徑 |
| 重心 G | 中線 | 分中線為 2:1 | 坐標計算 |
| 垂心 H | 高 | 位置取決於三角形類型 | 直角三角形 |
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📋 DSE 歷屆真題
📝 秒殺
重心 = $\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}, \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
$= \left(\dfrac{2+8+4}{3}, \dfrac{6+2+(-2)}{3}\right) = \left(\dfrac{14}{3}, 2\right)$
DSE 2020 Q38
I 是 △ABC 的內心，若 ∠BAC = 50°，求 ∠BIC。
📝 秒殺
內心公式：$\angle BIC = 90° + \dfrac{\angle A}{2}$
$= 90° + \dfrac{50°}{2} = 90° + 25° = 115°$
📝 練習題
1. △ABC 的頂點為 A(0, 0)、B(6, 0)、C(3, 6)，求重心坐標。
2. I 是 △ABC 的內心，若 ∠ABC = 60°、∠BCA = 80°，求 ∠BIC。
3. 直角三角形的垂心在哪裡？
📋 答案
1. (3, 2) 2. 110° 3. 直角頂點
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