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📚 MATHSKILLER 天書級教材系列

弧度與扇形

Radians & Sectors

CHAPTER 18

弧度與扇形

18.1 度與弧度轉換

$\pi$ 弧度 = 180°

度	弧度
30°	$\dfrac{\pi}{6}$
45°	$\dfrac{\pi}{4}$
60°	$\dfrac{\pi}{3}$
90°	$\dfrac{\pi}{2}$
180°	$\pi$
360°	$2\pi$

⚡ 轉換公式

度 → 弧度：乘以 $\dfrac{\pi}{180}$

弧度 → 度：乘以 $\dfrac{180}{\pi}$

🔄 度 ↔ 弧度轉換速記

度°

→ × $\dfrac{\pi}{180}$

← × $\dfrac{180}{\pi}$

弧度

30°

$\frac{\pi}{6}$

45°

$\frac{\pi}{4}$

60°

$\frac{\pi}{3}$

90°

$\frac{\pi}{2}$

180°

$\pi$

360°

$2\pi$

🔄 度 ↔ 弧度轉換速記

度°

→ × $\dfrac{\pi}{180}$

← × $\dfrac{180}{\pi}$

弧度

18.3 弓形面積

弓形面積 = 扇形面積 − 三角形面積

$A = \dfrac{1}{2}r^2\theta - \dfrac{1}{2}r^2\sin\theta = \dfrac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)$

🖩 計算機技巧 (CASIO)

功能	按鍵	說明
轉換模式	`SHIFT` → `MODE` → `2`	Deg ↔ Rad
輸入 π	`SHIFT` → `×10ˣ`	直接輸入 π
度轉弧度	輸入度數 → `SHIFT` → `Ans` → `1`	°→rad

📋 DSE 歷屆真題

DSE 2023 Q25

題目：圓的半徑是 8 cm，扇形的圓心角是 $\dfrac{3\pi}{4}$ 弧度。求扇形的面積。

📝 秒殺公式

$A = \dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2}(8)^2 \times \dfrac{3\pi}{4}$

$= \dfrac{1}{2} \times 64 \times \dfrac{3\pi}{4} = \mathbf{24\pi}$ cm²

DSE 2021 Q22

題目：將 $\dfrac{5\pi}{6}$ 弧度轉換為度。

📝 秒殺公式

弧度 × $\dfrac{180°}{\pi}$ = 度

$\dfrac{5\pi}{6} \times \dfrac{180°}{\pi} = \dfrac{5 \times 180°}{6} = \mathbf{150°}$

30°

$\frac{\pi}{6}$

45°

$\frac{\pi}{4}$

60°

$\frac{\pi}{3}$

90°

$\frac{\pi}{2}$

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360°

$2\pi$

18.2 弧長與扇形面積（弧度）

量度	公式（弧度 $\theta$）
弧長 Arc Length	$l = r\theta$
扇形面積 Sector Area	$A = \dfrac{1}{2}r^2\theta$

例題

半徑 6 cm，圓心角 $\dfrac{\pi}{3}$ 弧度的扇形面積是？

📝 秒殺

$A = \dfrac{1}{2}(6)^2 \times \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} \times 36 \times \dfrac{\pi}{3} = 6\pi$ cm²

18.3 弓形面積

弓形面積 = 扇形面積 − 三角形面積

$A = \dfrac{1}{2}r^2\theta - \dfrac{1}{2}r^2\sin\theta = \dfrac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)$

🖩 計算機技巧 (CASIO)

功能	按鍵	說明
轉換模式	`SHIFT` → `MODE` → `2`	Deg ↔ Rad
輸入 π	`SHIFT` → `×10ˣ`	直接輸入 π
度轉弧度	輸入度數 → `SHIFT` → `Ans` → `1`	°→rad

📋 DSE 歷屆真題

DSE 2023 Q25

圓的半徑是 8 cm，一扇形的圓心角是 $\dfrac{3\pi}{4}$ 弧度。求扇形的面積。

📝 秒殺

$A = \dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2}(8)^2 \times \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{1}{2} \times 64 \times \dfrac{3\pi}{4} = 24\pi$ cm²

DSE 2021 Q22

將 $\dfrac{5\pi}{6}$ 弧度轉換為度。

📝 秒殺

$\dfrac{5\pi}{6} \times \dfrac{180°}{\pi} = \dfrac{5 \times 180°}{6} = 150°$

📝 練習題

1. 將 120° 轉換為弧度

2. 半徑 10 cm，圓心角 0.8 弧度的弧長是？

📋 答案

1. $\frac{2\pi}{3}$ 2. 8 cm

📘 MathsKiller 天書級教材系列 | 第十八章

18.2 弧長與扇形面積（弧度）

量度	公式（弧度 $\theta$）
弧長 Arc Length	$l = r\theta$
扇形面積 Sector Area	$A = \dfrac{1}{2}r^2\theta$

例題

半徑 6 cm，圓心角 $\dfrac{\pi}{3}$ 弧度的扇形面積是？

📝 秒殺

$A = \dfrac{1}{2}(6)^2 \times \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} \times 36 \times \dfrac{\pi}{3} = 6\pi$ cm²

18.3 弓形面積

弓形面積 = 扇形面積 − 三角形面積

$A = \dfrac{1}{2}r^2\theta - \dfrac{1}{2}r^2\sin\theta = \dfrac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)$

🖩 計算機技巧 (CASIO)

功能	按鍵	說明
轉換模式	`SHIFT` → `MODE` → `2`	Deg ↔ Rad
輸入 π	`SHIFT` → `×10ˣ`	直接輸入 π
度轉弧度	輸入度數 → `SHIFT` → `Ans` → `1`	°→rad

📋 DSE 歷屆真題

DSE 2023 Q25

圓的半徑是 8 cm，一扇形的圓心角是 $\dfrac{3\pi}{4}$ 弧度。求扇形的面積。

📝 秒殺

$A = \dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2}(8)^2 \times \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{1}{2} \times 64 \times \dfrac{3\pi}{4} = 24\pi$ cm²

DSE 2021 Q22

將 $\dfrac{5\pi}{6}$ 弧度轉換為度。

📝 秒殺

$\dfrac{5\pi}{6} \times \dfrac{180°}{\pi} = \dfrac{5 \times 180°}{6} = 150°$

📝 練習題

1. 將 120° 轉換為弧度

2. 半徑 10 cm，圓心角 0.8 弧度的弧長是？

📋 答案

1. $\frac{2\pi}{3}$ 2. 8 cm

📘 MathsKiller 天書級教材系列 | 第十八章

弧度與扇形

弧度與扇形

⚡ 轉換公式

🔄 度 ↔ 弧度 轉換速記

🔄 度 ↔ 弧度 轉換速記

🖩 計算機技巧 (CASIO)

📋 DSE 歷屆真題

📝 秒殺公式

📝 秒殺公式

半徑 6 cm，圓心角 $\dfrac{\pi}{3}$ 弧度的扇形面積是？

📝 秒殺

🖩 計算機技巧 (CASIO)

📋 DSE 歷屆真題

📝 秒殺

📝 秒殺

📝 練習題

📋 答案

半徑 6 cm，圓心角 $\dfrac{\pi}{3}$ 弧度的扇形面積是？

📝 秒殺

🖩 計算機技巧 (CASIO)

📋 DSE 歷屆真題

📝 秒殺

📝 秒殺

📝 練習題

📋 答案

🔄 度 ↔ 弧度轉換速記

🔄 度 ↔ 弧度轉換速記