圓方程

Equations of Circles

CHAPTER 17

17.1 圓方程兩種形式

形式	方程	圓心	半徑
標準式	$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$	$(h, k)$	$r$
一般式	$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$	$(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2})$	$\sqrt{\dfrac{D^2}{4} + \dfrac{E^2}{4} - F}$

圓心 = $(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2})$

半徑 = $\sqrt{\text{圓心} x^2 + \text{圓心} y^2 - F}$

例題

圓心 = $(-\dfrac{-4}{2}, -\dfrac{6}{2}) = (2, -3)$

半徑 = $\sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5$

17.2 切線性質

切線與半徑垂直

若圓心到直線距離 = 半徑 → 直線是切線

標準式

$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$

📍 圓心：$(h, k)$

📏 半徑：$r$

一般式

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

📍 圓心：$(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$

📏 半徑：$\sqrt{\frac{D^2+E^2}{4} - F}$

💡 解題技巧：D、E 係數除 2 變負，根號下 x² + y² - F

1. 求圓 $x^2 + y^2 + 2x - 8y - 8 = 0$ 的圓心和半徑

2. 寫出圓心 (3, -2)，半徑 4 的圓方程

1. 圓心 $(-1, 4)$，半徑 5 2. $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 16$

📘 MathsKiller 天書級教材系列 | 第十七章