代數分式

Algebraic Fractions

CHAPTER 12

代數分式

🎯 學習目標

簡化代數分式
代數分式的加減乘除
解分式方程

12.1 簡化代數分式

⚡ 簡化步驟

1. 先因式分解分子和分母

2. 約去公因式

例題 1

簡化 $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - x - 2}$

📝 解答

$= \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+1)(x-2)}$

$= \dfrac{x+2}{x+1}$（約去 $x-2$）

12.2 代數分式運算

運算	方法
乘法	分子乘分子，分母乘分母
除法	乘以倒數
加減法	先通分（找公分母）

12.3 分式方程

⚡ 解題步驟

1. 找公分母

2. 兩邊乘以公分母去分母

3. 解方程

4. 檢查答案是否令分母 = 0

🔄 分式方程解題流程

1️⃣

找公分母

→

2️⃣

乘去分母

→

3️⃣

解方程

→

4️⃣

檢查答案

⚠️ 重要：若答案令分母 = 0，則該答案無效！

例題 2

解 $\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x+1} = 1$

📝 解答

公分母 = $x(x+1)$

$2(x+1) + 3x = x(x+1)$

$2x + 2 + 3x = x^2 + x$

$x^2 - 4x - 2 = 0$

$x = \dfrac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$

📋 DSE 歷屆真題

DSE 2022 Q7

簡化 $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$

📝 秒殺

$= \dfrac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2} = \dfrac{x-3}{x+3}$

📝 練習題

1. 簡化 $\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}$

2. 解 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+2} = \dfrac{5}{6}$

📋 答案

1. $\frac{x-1}{x+1}$ 2. $x = 2$ 或 $x = -\frac{6}{5}$

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第十二章：代數分式 | Chapter 12: Algebraic Fractions