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📚 MATHSKILLER 天書級教材系列
11

概率

Probability
© 2025 MathsKiller
CHAPTER 11

概率

🎯 學習目標

11.1 基本概率
$P(A) = \dfrac{\text{有利結果數目}}{\text{所有可能結果數目}}$
11.2 排列與組合
類型公式適用情況
排列 $\mathrm{P}^n_r$$\dfrac{n!}{(n-r)!}$有順序
組合 $\mathrm{C}^n_r$$\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$無順序

⚡ P/C 判斷秘訣

• 「排隊」「坐位」「密碼」→ 用 P（順序重要）

• 「選人」「抽球」「組隊」→ 用 C（順序不重要）

🎯

排列 P

$\mathrm{P}^n_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$

✓ 排隊

✓ 坐座位

✓ 設密碼

✓ 分冠亞季

🔑 順序重要！

🎲

組合 C

$\mathrm{C}^n_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$

✓ 選人

✓ 抽球

✓ 組隊

✓ 選委員

🔑 順序不重要！

🎯

排列 P

$\mathrm{P}^n_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$

✓ 排隊

✓ 坐座位

✓ 設密碼

✓ 分冠亞季

🔑 順序重要！

11.4 條件概率
$P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

讀作「在 B 已發生的條件下，A 發生的概率」

例題

袋中有 4 紅球 3 白球。不放回抽兩球，求兩球都是紅色的概率。

📝 解答

$P(\text{第一球紅}) = \dfrac{4}{7}$

$P(\text{第二球紅}|\text{第一球紅}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

$P(\text{兩球紅}) = \dfrac{4}{7} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{7}$

⚡ 期望值 E(X)

$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$

即「每個結果 × 其概率」的總和

⚡ 概率題秒殺總攻略

題型秒殺技巧考頻
至少一個$1 - P(\text{全都沒有})$⭐⭐⭐
選人問題用 C（組合）⭐⭐⭐
排隊問題用 P（排列）⭐⭐
不放回抽球逐步條件概率相乘⭐⭐⭐
幾何概率有利面積 ÷ 總面積⭐⭐
🎲

組合 C

$\mathrm{C}^n_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$

5 男 3 女 選 3 人 至少1女?

題目：從 5 男 3 女中選出 3 人組成委員會。求至少有 1 女的概率。

📝 秒殺（補集法）

$P(\text{至少 1 女}) = 1 - P(\text{全男})$

$= 1 - \dfrac{\mathrm{C}^5_3}{\mathrm{C}^8_3} = 1 - \dfrac{10}{56} = \mathbf{\dfrac{23}{28}}$

✓ 選委員

🔑 順序不重要！

11.3 加法與乘法原則
原則關鍵詞公式
加法原則「或」$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
乘法原則「且」$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

⚡ 「至少一個」秒殺

$P(\text{至少一個}) = 1 - P(\text{一個都沒有})$
11.4 條件概率
alert('請使用瀏覽器嘅「列印」功能，然後選擇「儲存為 PDF」\n\nPlease use browser Print function and select "Save as PDF"'); window.print();
例題

袋中有 4 紅球 3 白球。不放回抽兩球，求兩球都是紅色的概率。

$P(\text{第二球紅}|\text{第一球紅}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

$P(\text{兩球紅}) = \dfrac{4}{7} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{7}$

⚡ 期望值 E(X)

$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$

即「每個結果 × 其概率」的總和

⚡ 概率題秒殺總攻略

題型秒殺技巧考頻
至少一個$1 - P(\text{全都沒有})$⭐⭐⭐
選人問題用 C（組合）⭐⭐⭐
排隊問題用 P（排列）⭐⭐
不放回抽球逐步條件概率相乘⭐⭐⭐
幾何概率有利面積 ÷ 總面積⭐⭐

📋 DSE 歷屆真題

DSE 2023 Q28

從 5 男 3 女中選出 3 人組成委員會。求至少有 1 女的概率。

📝 秒殺

$P(\text{至少 1 女}) = 1 - P(\text{全男})$

$= 1 - \dfrac{\mathrm{C}^5_3}{\mathrm{C}^8_3} = 1 - \dfrac{10}{56} = \dfrac{46}{56} = \dfrac{23}{28}$

📝 練習題

1. 從 1-10 中隨機抽一數，求抽到偶數的概率。
2. 求 $\mathrm{C}^6_2$ 的值。
3. 擲兩枚硬幣，求至少有一個正面的概率。

📋 答案

1. $\frac{1}{2}$   2. 15   3. $\frac{3}{4}$

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第十一章：概率 | Chapter 11: Probability

© 2025 MathsKiller

$P(\text{第二球紅}|\text{第一球紅}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

$P(\text{兩球紅}) = \dfrac{4}{7} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{7}$

⚡ 期望值 E(X)

$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$

即「每個結果 × 其概率」的總和

⚡ 概率題秒殺總攻略

題型秒殺技巧考頻
至少一個$1 - P(\text{全都沒有})$⭐⭐⭐
選人問題用 C（組合）⭐⭐⭐
排隊問題用 P（排列）⭐⭐
不放回抽球逐步條件概率相乘⭐⭐⭐
幾何概率有利面積 ÷ 總面積⭐⭐

📋 DSE 歷屆真題

DSE 2023 Q28

從 5 男 3 女中選出 3 人組成委員會。求至少有 1 女的概率。

📝 秒殺

$P(\text{至少 1 女}) = 1 - P(\text{全男})$

$= 1 - \dfrac{\mathrm{C}^5_3}{\mathrm{C}^8_3} = 1 - \dfrac{10}{56} = \dfrac{46}{56} = \dfrac{23}{28}$

📝 練習題

1. 從 1-10 中隨機抽一數，求抽到偶數的概率。
2. 求 $\mathrm{C}^6_2$ 的值。
3. 擲兩枚硬幣，求至少有一個正面的概率。

📋 答案

1. $\frac{1}{2}$   2. 15   3. $\frac{3}{4}$

📘 MathsKiller 天書級教材系列

第十一章：概率 | Chapter 11: Probability

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