變分

Variations

CHAPTER 8

變分

🎯 學習目標

掌握正變（Direct Variation）
掌握反變（Inverse Variation）
掌握聯變（Joint Variation）
掌握部分變（Partial Variation）

8.1

四種變分

類型	關係	方程
正變 Direct	$y \propto x$	$y = kx$
反變 Inverse	$y \propto \dfrac{1}{x}$	$y = \dfrac{k}{x}$
聯變 Joint	$y \propto xz$	$y = kxz$
部分變 Partial	$y = $ 常數 $+$ 變數	$y = a + bx$

⚡ 識別變分類型

• 「成正比」「正變」→ $y = kx$

• 「成反比」「反變」→ $y = \dfrac{k}{x}$

• 「部分是常數，部分正變」→ $y = a + bx$

📈

正變 Direct

$y = kx$

x 增加，y 也增加

📉

反變 Inverse

$y = \dfrac{k}{x}$

x 增加，y 減少

🔗

聯變 Joint

$y = kxz$

同時與多個變數相關

➕

部分變 Partial

$y = a + bx$

常數 + 變數部分

例題 1

若 $y$ 正變於 $x$，且當 $x = 3$ 時 $y = 12$，求當 $x = 5$ 時 $y$ 的值。

📝 解答

$y = kx$

$12 = k(3)$ → $k = 4$

當 $x = 5$：$y = 4(5) = 20$

📋 DSE 歷屆真題

DSE 2022 Q13

$y$ 部分變於 $x$，部分變於 $x^2$。當 $x = 2$ 時 $y = 14$，當 $x = 3$ 時 $y = 27$。求當 $x = 4$ 時 $y$ 的值。

📝 解答

$y = ax + bx^2$

$x = 2$：$2a + 4b = 14$ → $a + 2b = 7$ ... (1)

$x = 3$：$3a + 9b = 27$ → $a + 3b = 9$ ... (2)

(2) - (1)：$b = 2$，$a = 3$

$x = 4$：$y = 3(4) + 2(16) = 44$

📝 練習題

1. 若 $y$ 反變於 $x$，且當 $x = 4$ 時 $y = 6$，求當 $x = 8$ 時 $y$ 的值。

2. 若 $y$ 正變於 $x^2$，且當 $x = 2$ 時 $y = 12$，求當 $x = 3$ 時 $y$ 的值。

📋 答案

1. 3 2. 27

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第八章：變分 | Chapter 8: Variations