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📚 MATHSKILLER 天書級教材系列

多項式

Polynomials

CHAPTER 7

多項式

🎯 學習目標

掌握餘式定理（Remainder Theorem）
掌握因式定理（Factor Theorem）
應用定理求未知係數
進行多項式除法

7.1

餘式定理

餘式定理 Remainder Theorem

$f(x)$ 除以 $(x-a)$ 的餘式 $= f(a)$

例題 1

求 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 5$ 除以 $(x-2)$ 的餘式。

📝 解答

餘式 $= f(2) = 8 - 8 + 6 - 5 = 1$

⚡ 注意：除數形式

若除以 $(x+3)$，則代入 $x = -3$

若除以 $(2x-1)$，則代入 $x = \dfrac{1}{2}$

7.2

因式定理

因式定理 Factor Theorem

$f(a) = 0 \Longleftrightarrow (x-a)$ 是 $f(x)$ 的因式

例題 2

證明 $(x-1)$ 是 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ 的因式。

📝 解答

$f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$

$\therefore (x-1)$ 是 $f(x)$ 的因式 ✓

⚡ 搵因式技巧

常數項的因數通常是根的候選：$\pm 1, \pm 2, \pm 3, ...$

例：$f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$，常數項 $= -6$

先試 $f(1), f(2), f(3), f(-1)...$

🔍 搵因式流程圖

1️⃣

睇常數項

找出因數

→

2️⃣

試 $f(a)$

代入驗證

→

3️⃣

$f(a)=0$?

檢查結果

→

✅

$(x-a)$ 是因式

找到了！

💡 秘訣：先試 $\pm 1, \pm 2$ 等簡單數字，通常很快就能找到！

7.3

求未知係數

例題 3

若 $f(x) = x^3 + ax^2 - 5x + b$ 被 $(x-1)$ 整除，且除以 $(x+2)$ 的餘式是 6，求 $a$ 和 $b$。

📝 解答

被 $(x-1)$ 整除 → $f(1) = 0$

$1 + a - 5 + b = 0$ → $a + b = 4$ ... (1)

除以 $(x+2)$ 餘式 6 → $f(-2) = 6$

$-8 + 4a + 10 + b = 6$ → $4a + b = 4$ ... (2)

(2) - (1)：$3a = 0$ → $a = 0$

代入 (1)：$b = 4$

7.4

多項式長除法

📐 長除法步驟

Step 1：排列被除式和除式（由高次到低次）

Step 2：用被除式最高次 ÷ 除式最高次 → 得商

Step 3：商 × 除式 → 減去 → 得新被除式

Step 4：重複直到餘式次數 < 除式次數

例題 4

求 $(2x^3 + 5x^2 - x + 3) ÷ (x + 2)$ 的商和餘式

📝 解答

$\begin{array}{r}2x^2+x-3\\x+2\enclose{longdiv}{2x^3+5x^2-x+3}\end{array}$

商 = $2x^2 + x - 3$，餘式 = 9

驗算：餘式 = $f(-2) = -16 + 20 + 2 + 3 = 9$ ✓

⚡ 秒殺：直接用餘式定理驗算

若除式是 $(x - a)$，餘式 = $f(a)$

省時策略：先用餘式定理檢驗選項！

📋 DSE 歷屆真題精選

DSE 2021 Q6

若 $f(x) = x^3 - kx + 6$ 被 $(x-2)$ 整除，求 $k$。

📝 解答

$f(2) = 8 - 2k + 6 = 0$

$2k = 14$ → $k = 7$

DSE 2020 Q22

$x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ 除以 $(x+1)$ 的餘式是？

A. -8 B. -2 C. 0 D. 2

📝 秒殺

餘式 $= f(-1) = -1 + 2 + 5 - 6 = 0$

答案：C

📝 練習題

1. 求 $x^3 + 2x^2 - x + 3$ 除以 $(x-1)$ 的餘式。

2. 證明 $(x+2)$ 是 $x^3 + x^2 - 4x - 4$ 的因式。

3. 若 $f(x) = x^3 + ax - 2$ 被 $(x+1)$ 整除，求 $a$。

📋 答案

1. 5 2. $f(-2) = 0$ ✓ 3. $a = -3$

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第七章：多項式 | Chapter 7: Polynomials