📚 返回目錄

📚 MATHSKILLER 天書級教材系列

三角學

Trigonometry

CHAPTER 6

三角學

Trigonometry

🎯 學習目標

掌握三角比（sin, cos, tan）的定義
熟記特殊角（30°, 45°, 60°）的三角比值
應用正弦定律和餘弦定律
計算三角形面積
理解三角恆等式

6.1

三角比定義 (SOH CAH TOA)

直角三角形中

三角比	定義	記憶
$\sin\theta$	$\dfrac{\text{對邊}}{\text{斜邊}}$	SOH
$\cos\theta$	$\dfrac{\text{鄰邊}}{\text{斜邊}}$	CAH
$\tan\theta$	$\dfrac{\text{對邊}}{\text{鄰邊}}$	TOA

🧠 SOH CAH TOA 口訣

Sine = Opposite / Hypotenuse
Cosine = Adjacent / Hypotenuse
Tangent = Opposite / Adjacent

6.2

特殊角三角比

角度	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$0°$	$0$	$1$	$0$
$30°$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$45°$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60°$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$90°$	$1$	$0$	未定義

⚡ 記憶秘訣

sin 的值：$\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$

cos 的值：倒轉 sin 的順序

6.3

正弦定律與餘弦定律

正弦定律 (Sine Rule)

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$

餘弦定律 (Cosine Rule)

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

⚡ 何時用哪條定律？

已知條件	用哪條
兩角一邊 (AAS/ASA)	正弦定律
兩邊一對角 (SSA)	正弦定律
三邊 (SSS)	餘弦定律
兩邊夾角 (SAS)	餘弦定律

題目：在 △ABC 中，$a = 5$，$b = 7$，$C = 60°$。求 $c$。

📝 餘弦定律

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

$= 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60°$

$= 25 + 49 - 70 \times \dfrac{1}{2} = 39$

$c = \sqrt{39}$

三角形面積公式

面積 $= \dfrac{1}{2}ab\sin C$

題目：在 △ABC 中，$\sin A = \dfrac{3}{5}$。若 $A$ 是鈍角，求 $\cos A$。

📝 秒殺

$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$

因 $A$ 是鈍角（第二象限），$\cos A < 0$

$\therefore \cos A = -\dfrac{4}{5}$

📋 DSE 歷屆真題

DSE 2022 Q14

在 △ABC 中，$a = 5$，$b = 7$，$C = 60°$。求 $c$。

📝 解答（用餘弦定律）

$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60°$

$= 25 + 49 - 70 \times \dfrac{1}{2} = 39$

$c = \sqrt{39}$

DSE 2021 Q12

在 △ABC 中，$\sin A = \dfrac{3}{5}$。若 $A$ 是鈍角，求 $\cos A$。

📝 秒殺

$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$

因 $A$ 是鈍角，$\cos A < 0$

$\therefore \cos A = -\dfrac{4}{5}$

alert('請使用瀏覽器嘅「列印」功能，然後選擇「儲存為 PDF」\n\nPlease use browser Print function and select "Save as PDF"'); window.print();

2. 在 △ABC 中，$a = 8$，$A = 30°$，$B = 45°$，求 $b$。

3. 在 △ABC 中，$a = 3$，$b = 5$，$c = 7$，求 $\cos C$。

4. 求 △ABC 的面積，若 $a = 6$，$b = 8$，$C = 30°$。

📋 答案

1. $\cos\theta = \frac{12}{13}$, $\tan\theta = \frac{5}{12}$ 2. $8\sqrt{2}$ 3. $-\frac{1}{2}$ 4. $12$

📘 MathsKiller 天書級教材系列

第六章：三角學 | Chapter 6: Trigonometry

📋 答案

1. $\cos\theta = \frac{12}{13}$, $\tan\theta = \frac{5}{12}$ 2. $8\sqrt{2}$ 3. $-\frac{1}{2}$ 4. $12$