| 名稱 | 公式 |
|---|---|
| 距離公式 | $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ |
| 中點公式 | $M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ |
| 斜率公式 | $m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ |
| 分點公式 | $P = \left(\dfrac{mx_2+nx_1}{m+n}, \dfrac{my_2+ny_1}{m+n}\right)$ |
斜率 $m = \tan\theta$（$\theta$ 是直線與 x 軸正向的夾角）
• 斜率為正 → 線向右上升
• 斜率為負 → 線向右下降
• 斜率為 0 → 水平線
• 斜率不存在 → 垂直線
| 形式 | 公式 | 特點 |
|---|---|---|
| 斜截式 | $y = mx + c$ | 斜率 = $m$，y-截距 = $c$ |
| 點斜式 | $y - y_1 = m(x - x_1)$ | 過點 $(x_1, y_1)$，斜率 = $m$ |
| 一般式 | $ax + by + c = 0$ | 斜率 = $-\dfrac{a}{b}$ |
| 關係 | 斜率條件 |
|---|---|
| 平行 | $m_1 = m_2$ |
| 垂直 | $m_1 \times m_2 = -1$ |
Step 1：求原直線斜率
$2x - y + 1 = 0$ → $y = 2x + 1$ → 斜率 $m = 2$
Step 2：用點斜式
$y - 3 = 2(x - 2)$
$y = 2x - 1$
或一般式：$2x - y - 1 = 0$
題目：A(1, 2) 和 B(5, 8) 是直線上的兩點。求 AB 的中點及長度。
中點 $= \left(\dfrac{1+5}{2}, \dfrac{2+8}{2}\right) = \mathbf{(3, 5)}$
長度 $= \sqrt{(5-1)^2 + (8-2)^2} = \sqrt{16 + 36} = \mathbf{2\sqrt{13}}$
題目：圓 $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ 的圓心和半徑是？
圓心 $= \left(-\dfrac{-4}{2}, -\dfrac{6}{2}\right) = \mathbf{(2, -3)}$
$r = \sqrt{2^2 + 3^2 + 12} = \sqrt{25} = \mathbf{5}$
題目：點 $(3, 4)$ 到直線 $3x + 4y - 10 = 0$ 的距離是？
A. 1 B. 3 C. 5 D. 15
$d = \dfrac{|3(3) + 4(4) - 10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{|15|}{5} = \mathbf{3}$
答案：B
圓心：$\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$
半徑：$r = \sqrt{\dfrac{D^2}{4} + \dfrac{E^2}{4} - F}$
A(1, 2) 和 B(5, 8) 是直線上的兩點。求 AB 的中點及長度。
中點 $= \left(\dfrac{1+5}{2}, \dfrac{2+8}{2}\right) = (3, 5)$
長度 $= \sqrt{(5-1)^2 + (8-2)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$
$r = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5$
點 $(3, 4)$ 到直線 $3x + 4y - 10 = 0$ 的距離是？
A. 1 B. 3 C. 5 D. 15
$d = \dfrac{|3(3) + 4(4) - 10|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{|9 + 16 - 10|}{5} = \dfrac{15}{5} = 3$
答案：B
1. 10 2. $y = 2x - 7$ 3. $y = -\frac{1}{3}x$ 4. 圓心 $(-1, 4)$，$r = 5$ 5. $\sqrt{2}$
📘 MathsKiller 天書級教材系列
第五章：坐標幾何 | Chapter 5: Coordinate Geometry
© 2025 MathsKiller | mathskiller.pro