| 名稱 | 公式 | 說明 |
|---|---|---|
| 通項公式 | $T(n) = a + (n-1)d$ | $a$ = 首項，$d$ = 公差 |
| 求和公式 1 | $S(n) = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ | 已知 $a$, $d$, $n$ |
| 求和公式 2 | $S(n) = \dfrac{n(a + l)}{2}$ | $l$ = 末項 |
$a = 2$，$d = 3$
$T(20) = 2 + (20-1) \times 3 = 2 + 57 = 59$
$S(20) = \dfrac{20(2 + 59)}{2} = 10 \times 61 = 610$
通項：$T(n) = a + (n-1)d$
求和：$S(n) = \dfrac{n(a+l)}{2}$
🔑 相鄰項差相同
通項：$T(n) = ar^{n-1}$
求和：$S(n) = \dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$
🔑 相鄰項比相同
💡 無窮等比級數：$|r| < 1$ 時，$S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$
| 名稱 | 公式 | 說明 |
|---|---|---|
| 通項公式 | $T(n) = ar^{n-1}$ | $a$ = 首項，$r$ = 公比 |
| 求和公式 | $S(n) = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ | $r \neq 1$ |
| 或 | $S(n) = \dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$ | $r \neq 1$ |
當 $r > 1$ 時，用 $\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$ 較方便
當 $r < 1$ 時，用 $\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ 較方便
$0.\dot{3} = 0.333... = \dfrac{3}{10} + \dfrac{3}{100} + \dfrac{3}{1000} + ...$
$= \dfrac{0.3}{1-0.1} = \dfrac{0.3}{0.9} = \dfrac{1}{3}$
等差數列的第 3 項是 11，第 7 項是 23。求首項。
$T(3) = a + 2d = 11$ ... (1)
$T(7) = a + 6d = 23$ ... (2)
(2) - (1)：$4d = 12$ → $d = 3$
代入 (1)：$a + 6 = 11$ → $a = 5$
等比數列首項為 4，公比為 3。求首 5 項之和。
A. 484 B. 364 C. 324 D. 244
$S(5) = \dfrac{4(3^5-1)}{3-1} = \dfrac{4(243-1)}{2} = 2 \times 242 = 484$
答案：A
$0.2\dot{7}$ 化為分數。
$0.2\dot{7} = 0.2 + 0.07 + 0.007 + ...$
$= 0.2 + \dfrac{0.07}{1-0.1} = 0.2 + \dfrac{0.07}{0.9} = \dfrac{2}{10} + \dfrac{7}{90} = \dfrac{25}{90} = \dfrac{5}{18}$
陷阱 1：項數與 n 的關係
「第 n 項」的 n 是項數，不是公差的倍數！
$T(n) = a + (n-1)d$ ← 係數是 $(n-1)$，不是 $n$
陷阱 2：無窮等比級數條件
只有當 $|r| < 1$ 時，無窮等比級數才收斂！
若 $|r| \geq 1$，答案是「不存在」或「發散」
陷阱 3：循環小數轉分數
注意 $0.\dot{1} = \dfrac{1}{9}$，$0.\dot{0}\dot{1} = \dfrac{1}{99}$
位數不同，分母不同！
1. 59 2. $\dfrac{63}{16}$ 3. $\dfrac{3}{2}$ 4. $a = 5$, $d = 3$
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第四章：數列與級數 | Chapter 4: Sequences & Series
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