「同底相乘加指數」
「同底相除減指數」
「冪的冪乘指數」
| 定律 | 公式 | 例子 |
|---|---|---|
| 乘法 | $a^m \times a^n = a^{m+n}$ | $2^3 \times 2^4 = 2^7$ |
| 除法 | $a^m \div a^n = a^{m-n}$ | $3^5 \div 3^2 = 3^3$ |
| 冪的冪 | $(a^m)^n = a^{mn}$ | $(2^3)^4 = 2^{12}$ |
| 零次冪 | $a^0 = 1$ | $5^0 = 1$ |
| 負指數 | $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ | $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$ |
| 分數指數 | $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ | $8^{\frac{2}{3}} = 4$ |
| 分配律 | $(ab)^n = a^n b^n$ | $(2\times3)^4 = 2^4 \times 3^4$ |
同底相乘
$a^m \times a^n$
↓
$a^{m+n}$
指數相加
同底相除
$a^m \div a^n$
↓
$a^{m-n}$
指數相減
冪的冪
$(a^m)^n$
↓
$a^{mn}$
指數相乘
$a^0 = 1$
任何數的 0 次方 = 1
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
負指數 = 倒數
• 常用對數：$\log_{10} N = \lg N$（計算機 log 鍵）
• 自然對數：$\log_e N = \ln N$（計算機 ln 鍵）
• $\log_a 1 = 0$（因為 $a^0 = 1$）
• $\log_a a = 1$（因為 $a^1 = a$）
| 定律 | 公式 |
|---|---|
| 乘法 | $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$ |
| 除法 | $\log_a\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N$ |
| 冪次 | $\log_a M^n = n\log_a M$ |
❌ $\log(a+b) \ne \log a + \log b$
❌ $\log(a-b) \ne \log a - \log b$
✓ 只有乘除才能拆開！
求 $\log_2 5$：
計算機輸入：log 5 ÷ log 2 =
答案：$\approx 2.322$
方法 1（換底）：
$\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2}$
方法 2（定義）：
設 $\log_4 8 = x$，則 $4^x = 8$
$(2^2)^x = 2^3$ → $2x = 3$ → $x = \dfrac{3}{2}$
方法：兩邊取對數
例：解 $2^x = 5$
$x \log 2 = \log 5$ → $x = \dfrac{\log 5}{\log 2} \approx 2.32$
方法：化為指數形式
例：解 $\log_3 x = 4$
$x = 3^4 = 81$
對數真數必須為正！
解 $\log(x-1) = 2$ 後要檢查 $x - 1 > 0$
化簡 $\dfrac{(8^n)^2}{2^{5n}}$。
$= \dfrac{(2^3)^{2n}}{2^{5n}} = \dfrac{2^{6n}}{2^{5n}} = 2^n$
若 $\log_3 x - \log_3 2 = 2$，求 $x$。
$\log_3 \dfrac{x}{2} = 2$
$\dfrac{x}{2} = 3^2 = 9$
$x = 18$
若 $5^x = 3$，求 $25^x$ 的值。
A. 6 B. 9 C. 15 D. 243
$25^x = (5^2)^x = (5^x)^2 = 3^2 = 9$
答案：B
1. $9$ 2. $5$ 3. $125$ 4. $5$ 5. $x = 3$
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第三章：指數與對數 | Chapter 3: Indices & Logarithms
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