x 坐標：$x = -\dfrac{b}{2a}$
y 坐標：代入原式計算
| 形式 | 公式 | 特點 |
|---|---|---|
| 一般式 General Form |
$y = ax^2 + bx + c$ | • y-截距 = $c$ • 展開後的標準形式 |
| 頂點式 Vertex Form |
$y = a(x-h)^2 + k$ | • 頂點 = $(h, k)$ • 最常考！ |
| 因式式 Factored Form |
$y = a(x-p)(x-q)$ | • x-截距 = $p$, $q$ • 對稱軸 $x = \dfrac{p+q}{2}$ |
• 見到 $(x-h)^2$ → 頂點式，頂點 = $(h, k)$
• 見到 $(x-p)(x-q)$ → 因式式，x-截距 = $p$, $q$
• 其他 → 一般式
Step 1：求 x 坐標
$x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2(2)} = \dfrac{8}{4} = 2$
Step 2：代入原式求 y 坐標
$y = 2(2)^2 - 8(2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$
∴ 頂點 = $(2, -3)$
$y = (x + 3)^2 - 5$
頂點 = $(3, -5)$ ❌
頂點 = $(-3, -5)$ ✓
記住：$(x+3)^2 = (x-(-3))^2$，所以 $h = -3$
| $a$ 的值 | 開口方向 | 頂點 |
|---|---|---|
| $a > 0$ | 向上 ∪ | 最低點 |
| $a < 0$ | 向下 ∩ | 最高點 |
$|a|$ 越大，拋物線越窄；$|a|$ 越小，拋物線越闊
∪ 向上 → a > 0
∩ 向下 → a < 0
軸在右 → a,b 異號
軸在左 → a,b 同號
在 x 軸上 → c > 0
在 x 軸下 → c < 0
| 觀察 | 判斷 |
|---|---|
| 開口向上 | $a > 0$ |
| 開口向下 | $a < 0$ |
| 對稱軸在 y 軸右邊 | $-\dfrac{b}{2a} > 0$ → $a$ 和 $b$ 異號 |
| 對稱軸在 y 軸左邊 | $-\dfrac{b}{2a} < 0$ → $a$ 和 $b$ 同號 |
| y-截距在 x 軸上方 | $c > 0$ |
| y-截距在 x 軸下方 | $c < 0$ |
要點：
• 「開口定 a」- 向上正，向下負
• 「軸 a 異同 b」- 軸在右 ab 異號，軸在左 ab 同號
• 「截距定 c」- y-截距在上正，在下負
將 $y = ax^2 + bx + c$ 轉為 $y = a(x-h)^2 + k$
Step 1：抽出 $a$（二次項係數）
$y = 2(x^2 - 6x) + 13$
Step 2：配方（加減 $(\dfrac{6}{2})^2 = 9$）
$y = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 13$
$y = 2[(x-3)^2 - 9] + 13$
Step 3：展開整理
$y = 2(x-3)^2 - 18 + 13$
$y = 2(x-3)^2 - 5$
∴ 頂點式為 $y = 2(x-3)^2 - 5$，頂點 = $(3, -5)$
Q10. 二次函數 $y = -x^2 + 6x - 5$
(a) 用配方法將函數化為 $y = a(x-h)^2 + k$ 的形式。
(b) 寫出頂點坐標及對稱軸方程。
(c) 求函數的最大值。
(a) $y = -(x^2 - 6x) - 5$
$= -(x^2 - 6x + 9 - 9) - 5$
$= -(x-3)^2 + 9 - 5$
$= -(x-3)^2 + 4$
(b) 頂點 = $(3, 4)$，對稱軸：$x = 3$
(c) 因 $a = -1 < 0$，開口向下，頂點為最高點
∴ 最大值 = $4$
若 $y = x^2 - 4x + k$ 的最小值是 5，求 $k$。
A. 1 B. 5 C. 9 D. 13
頂點 x 坐標：$x = \dfrac{4}{2} = 2$
最小值 = $f(2) = 4 - 8 + k = k - 4 = 5$
$k = 9$
答案：C
拋物線 $y = -2x^2 + 8x - 3$ 的頂點坐標是
A. $(-2, -27)$ B. $(-2, 5)$ C. $(2, -27)$ D. $(2, 5)$
$x = -\dfrac{8}{2(-2)} = 2$
$y = -2(4) + 16 - 3 = -8 + 16 - 3 = 5$
頂點 = $(2, 5)$
答案：D
題目：下圖為 $y = ax^2 + bx + c$ 的圖像。下列哪項正確？
A. $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$
B. $a > 0$, $b < 0$, $c < 0$
C. $a < 0$, $b > 0$, $c > 0$
D. $a < 0$, $b < 0$, $c < 0$
• 開口向上 → $a > 0$ ✓
• 軸在右（$-\frac{b}{2a} > 0$）→ $b < 0$ ✓
• y-截距為負 → $c < 0$ ✓
答案：B
1. $(-3, -4)$
2. $y = (x-2)^2 + 3$
3. $k = -4$
4. 4
5. $a < 0$, $b > 0$, $c > 0$
6. 對稱軸 $x = 2$，頂點 $(2, 5)$
7. $k = 9$
8. 一般式 $y = x^2 - 4x - 5$，頂點式 $y = (x-2)^2 - 9$
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第二章：二次函數圖像 | Chapter 2: Quadratic Functions
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