「負 b 正負開方 b 方減 4ac，除以 2a」
即：−b ± √(b² − 4ac) 全部除以 2a
二次方程 (Quadratic Equation) 是指含有一個未知數且未知數的最高次數為 2 的方程。
一般形式 (General Form)：
| 係數 | 名稱 | 例子：$2x^2 - 5x + 3 = 0$ |
|---|---|---|
| $a$ | 二次項係數 | $a = 2$ |
| $b$ | 一次項係數 | $b = -5$（注意負號！） |
| $c$ | 常數項 | $c = 3$ |
題目給 $3x^2 = 5x - 2$，必須先轉為 general form！
$3x^2 - 5x + 2 = 0$
此時 $a = 3$，$b = -5$，$c = 2$
⚠️ 記住：$b$ 的符號經常睇錯！
當方程可以分解為兩個一次因式相乘時使用。
原理：若 $AB = 0$，則 $A = 0$ 或 $B = 0$
Step 1：找兩個數，相加 = -5，相乘 = 6
答案：-2 和 -3
Step 2：因式分解
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$
Step 3：解方程
$x - 2 = 0$ 或 $x - 3 = 0$
$\therefore x = 2$ 或 $x = 3$
CASIO fx-50FH II：
MODE → 5 (EQN) → 3 (ax²+bx+c=0)
輸入 a=1, b=-5, c=6
計算機直接出 x=2, x=3 ✓
因式還原技巧：
• 計算機出 x=2 → 因式是 $(x-2)$
• 計算機出 x=3/2 → 因式是 $(2x-3)$
識別係數：$a = 2$，$b = -5$，$c = -3$
代入公式：
$x = \dfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)}$
$= \dfrac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}$
$= \dfrac{5 \pm \sqrt{49}}{4} = \dfrac{5 \pm 7}{4}$
$\therefore x = \dfrac{5+7}{4} = 3$ 或 $x = \dfrac{5-7}{4} = -\dfrac{1}{2}$
| 判別式值 | 根的性質 | 圖像與 x 軸關係 |
|---|---|---|
| $\Delta > 0$ | 兩個不相等實根 | 相交於兩點 |
| $\Delta = 0$ | 兩個相等實根（重根） | 相切於一點 |
| $\Delta < 0$ | 沒有實根 | 不相交 |
「有實根」≠「有不相等實根」
(a) 相等實根 → $\Delta = 0$
$a = 1$，$b = -(k+1)$，$c = k$
$\Delta = [-(k+1)]^2 - 4(1)(k) = 0$
$(k+1)^2 - 4k = 0$
$k^2 + 2k + 1 - 4k = 0$
$k^2 - 2k + 1 = 0$
$(k-1)^2 = 0$
$\therefore k = 1$
(b) 當 $k = 1$ 時，方程為 $x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x-1)^2 = 0$
$\therefore x = 1$（重根）
設 $\alpha$ 和 $\beta$ 是 $ax^2 + bx + c = 0$ 的兩根，則：
| 要求 | 公式 |
|---|---|
| $\alpha^2 + \beta^2$ | $= (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ |
| $(\alpha - \beta)^2$ | $= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ |
| $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$ | $= \dfrac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}$ |
| $\alpha^3 + \beta^3$ | $= (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$ |
由韋達定理：
$\alpha + \beta = -\dfrac{-7}{2} = \dfrac{7}{2}$
$\alpha\beta = \dfrac{4}{2} = 2$
利用公式：
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$
$= \left(\dfrac{7}{2}\right)^2 - 2(2)$
$= \dfrac{49}{4} - 4 = \dfrac{49 - 16}{4} = \dfrac{33}{4}$
Q9. 解方程 (a) $3(x + 2) = 5x - 4$ (b) $x^2 - 3x - 10 = 0$
(a) $3x + 6 = 5x - 4$
$6 + 4 = 5x - 3x$
$10 = 2x$
$x = 5$
(b) $x^2 - 3x - 10 = 0$
$(x - 5)(x + 2) = 0$
$x = 5$ 或 $x = -2$
Q9. $x^2 - (k+1)x + k = 0$ 有兩個相等實根。(a) 求 $k$ (b) 求該根
(a) $\Delta = 0$
$(k+1)^2 - 4k = 0$
$k^2 - 2k + 1 = 0$
$k = 1$
(b) 方程為 $x^2 - 2x + 1 = 0$，$x = 1$
Q11. 二次方程 $2x^2 - 5x + k = 0$ 有兩個相等實根。(a) 求 $k$ 的值 (b) 求該兩根
(a) $\Delta = (-5)^2 - 4(2)(k) = 0$
$25 - 8k = 0$
$k = \dfrac{25}{8}$
(b) $x = \dfrac{5}{4}$（重根）
Q10. $x^2 + px + q = 0$ 的兩根是 $-2$ 和 $5$。(a) 求 $p$ 和 $q$ (b) 求 $(-2)^2 + 5^2$
(a) 由韋達定理：
$-2 + 5 = -p \Rightarrow p = -3$
$(-2)(5) = q \Rightarrow q = -10$
(b) $(-2)^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29$
Q9. 若 $\alpha$ 和 $\beta$ 是 $3x^2 - 8x + 2 = 0$ 的根，求 (a) $\alpha + \beta$ 和 $\alpha\beta$ (b) $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$
(a) $\alpha + \beta = \dfrac{8}{3}$，$\alpha\beta = \dfrac{2}{3}$
(b) $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \dfrac{8/3}{2/3} = 4$
解方程 $(x-k)^2=4k^2$
A. $x=-k$
B. $x=3k$
C. $x=-k$ 或 $x=3k$
D. $x=k$ 或 $x=-3k$
$(x-k)^2 = 4k^2$
$x - k = \pm 2k$
$x = k + 2k = 3k$ 或 $x = k - 2k = -k$
答案：C
$x^2+ax+a=1$ 有相等根，求 $a$
A. $-1$
B. $2$
C. $0$ 或 $-4$
D. $-2$ 或 $2$
先化為 general form：$x^2 + ax + (a-1) = 0$
$\Delta = a^2 - 4(a-1) = 0$
$a^2 - 4a + 4 = 0$
$(a-2)^2 = 0$
$a = 2$
答案：B
若 $\beta$ 是 $4x^2-5x-1=0$ 的根，求 $7+10\beta-8\beta^2$
A. $5$
B. $7$
C. $9$
D. $11$
因為 $\beta$ 是根，所以 $4\beta^2 - 5\beta - 1 = 0$
即 $4\beta^2 = 5\beta + 1$
$8\beta^2 = 10\beta + 2$
代入：
$7 + 10\beta - 8\beta^2$
$= 7 + 10\beta - (10\beta + 2)$
$= 7 - 2 = 5$
答案：A
$x^2+kx+8k+36=0$ 有相等根，求 $k$
A. $-6$
B. $12$
C. $-4$ 或 $36$
D. $-6$ 或 $24$
$\Delta = k^2 - 4(8k+36) = 0$
$k^2 - 32k - 144 = 0$
$(k-36)(k+4) = 0$
$k = 36$ 或 $k = -4$
答案：C
A quadratic equation is an equation that can be written in the form:
$ax^2 + bx + c = 0$ where $a \neq 0$
| Formula | Usage |
|---|---|
| Quadratic Formula: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ | Find roots of any quadratic |
| Discriminant: $\Delta = b^2 - 4ac$ | Determine nature of roots |
| Sum of roots: $\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}$ | Vieta's formulas |
| Product of roots: $\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$ | Vieta's formulas |
| Discriminant | Nature of Roots |
|---|---|
| $\Delta > 0$ | Two distinct real roots |
| $\Delta = 0$ | Two equal real roots (repeated root) |
| $\Delta < 0$ | No real roots |
By Vieta's formulas:
$\alpha + \beta = \dfrac{8}{3}$, $\alpha\beta = \dfrac{2}{3}$
$\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \dfrac{8/3}{2/3} = 4$
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第一章：二次方程 | Chapter 1: Quadratic Equations
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