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📚 MATHSKILLER 中英對照天書

P2-4

極坐標

Polar Coordinates

PAPER 2 專題 4 / Topic 4

極坐標 Polar Coordinates

P2-4.1 基本概念 Basic Concepts

🎯 極坐標系統 Polar Coordinate System

極坐標用 $(r, \theta)$ 表示一個點：

• $r$ = 到原點的距離（極徑）

• $\theta$ = 與正 x 軸的夾角（極角）

• 角度通常以度或弧度表示

• 逆時針為正方向

Polar coordinates use $(r, \theta)$ to represent a point:

• $r$ = distance from origin (radius)

• $\theta$ = angle from positive x-axis (argument)

• Angle in degrees or radians

• Counter-clockwise is positive

P2-4.2 轉換公式 Conversion Formulas

📐 極坐標 ↔ 直角坐標 Polar ↔ Cartesian

中文	English	公式 Formula
極 → 直角	Polar → Cartesian	$x = r\cos\theta$ $y = r\sin\theta$
直角 → 極	Cartesian → Polar	$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ $\tan\theta = \dfrac{y}{x}$

P2-4.3 特殊角度三角比 Special Angle Values

📊 必背三角比 Essential Trig Values

30°

$\cos = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin = \dfrac{1}{2}$

45°

$\cos = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

60°

$\cos = \dfrac{1}{2}$

$\sin = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

90°

$\cos = 0$

$\sin = 1$

⚡ 秒殺技巧 Quick Tips

1. 極→直角：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$

2. 直角→極：$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

3. 特殊位置：

• x 軸正半軸：$\theta = 0°$

• y 軸正半軸：$\theta = 90°$

• x 軸負半軸：$\theta = 180°$

4. 注意象限決定角度！

1. Polar→Cartesian: $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$

2. Cartesian→Polar: $r = \sqrt{x^2 + y^2}$

3. Special positions:

• Positive x-axis: $\theta = 0°$

• Positive y-axis: $\theta = 90°$

• Negative x-axis: $\theta = 180°$

4. Quadrant determines angle!

P2-4.4 DSE 歷屆真題 Past Paper Questions

DSE 2023 Q28

題目：將極坐標 $(4, 60°)$ 轉換為直角坐標。

Question: Convert polar coordinates $(4, 60°)$ to Cartesian coordinates.

📝 秒殺 Quick Solution

$x = 4\cos 60° = 4 \times \dfrac{1}{2} = 2$

$y = 4\sin 60° = 4 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

答案：$(2, 2\sqrt{3})$

DSE 2022 Q29

題目：將極坐標 $(6, 150°)$ 轉換為直角坐標。

Question: Convert polar coordinates $(6, 150°)$ to Cartesian coordinates.

📝 秒殺 Quick Solution

$x = 6\cos 150° = 6 \times (-\dfrac{\sqrt{3}}{2}) = -3\sqrt{3}$

$y = 6\sin 150° = 6 \times \dfrac{1}{2} = 3$

答案：$(-3\sqrt{3}, 3)$

DSE 2021 Q30

題目：將直角坐標 $(3, 3)$ 轉換為極坐標。

Question: Convert Cartesian coordinates $(3, 3)$ to polar coordinates.

📝 秒殺 Quick Solution

$r = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$\tan\theta = \dfrac{3}{3} = 1$，$\theta = 45°$

答案：$(3\sqrt{2}, 45°)$

DSE 2020 Q31

題目：將直角坐標 $(-4, 0)$ 轉換為極坐標。

Question: Convert Cartesian coordinates $(-4, 0)$ to polar coordinates.

📝 秒殺 Quick Solution

$r = \sqrt{16 + 0} = 4$

點在負 x 軸上，$\theta = 180°$

答案：$(4, 180°)$

📝 練習題 Practice Questions

1. 將 $(8, 30°)$ 轉換為直角坐標。
Convert $(8, 30°)$ to Cartesian coordinates.

2. 將 $(0, -5)$ 轉換為極坐標。
Convert $(0, -5)$ to polar coordinates.

3. 將 $(10, 120°)$ 轉換為直角坐標。
Convert $(10, 120°)$ to Cartesian coordinates.

📋 答案 Answers

1. $(4\sqrt{3}, 4)$ 2. $(5, 270°)$ 3. $(-5, 5\sqrt{3})$

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