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📚 MATHSKILLER 中英對照天書
03

指數與對數

Indices & Logarithms
🇭🇰 中文
🇬🇧 English
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3.1 指數定律 Laws of Indices
中文 English 公式 Formula
乘法 Multiplication $a^m \times a^n = a^{m+n}$
除法 Division $a^m \div a^n = a^{m-n}$
冪的冪 Power of Power $(a^m)^n = a^{mn}$
零次冪 Zero Power $a^0 = 1$
負指數 Negative Index $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
分數指數 Fractional Index $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
中文提示

「同底相乘加指數」
「同底相除減指數」
「冪的冪乘指數」

EN Memory

"Same base multiply → add indices"
"Same base divide → subtract indices"
"Power of power → multiply indices"

3.2 對數定義 Definition of Logarithms
對數 ↔ 指數 轉換 / Log ↔ Index Conversion
$\log_a N = x \Longleftrightarrow a^x = N$
必記特殊值

• $\log_a 1 = 0$（因為 $a^0 = 1$）

• $\log_a a = 1$（因為 $a^1 = a$）

Key Values

• $\log_a 1 = 0$ (because $a^0 = 1$)

• $\log_a a = 1$ (because $a^1 = a$)

3.3 對數定律 Laws of Logarithms
中文 English 公式 Formula
乘法 Product $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$
除法 Quotient $\log_a\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N$
冪次 Power $\log_a M^n = n\log_a M$

⚡ 記憶提示 / Memory Tip

「乘變加、除變減、冪放前」
"Multiply → Add, Divide → Subtract, Power → Multiply"
3.4 換底公式 Change of Base Formula
$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} = \dfrac{\lg b}{\lg a}$
📝 計算機技巧 Calculator Trick
中文

求 $\log_2 5$：

輸入：log 5 ÷ log 2 =

答案：$\approx 2.322$

EN

Find $\log_2 5$:

Enter: log 5 ÷ log 2 =

Answer: $\approx 2.322$

📋 DSE 真題 / Past Paper

DSE 2023 Q15

Q: 若 If $5^x = 3$，求 find $25^x$

A. 6   B. 9   C. 15   D. 243

解 Solution: $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2 = 3^2 = 9$
答案 Answer: B
DSE 2020 Q7

Q: 化簡 Simplify $\dfrac{(8^n)^2}{2^{5n}}$

解 Solution: $= \dfrac{(2^3)^{2n}}{2^{5n}} = \dfrac{2^{6n}}{2^{5n}} = 2^n$

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第三章 Chapter 3：指數與對數 Indices & Logarithms

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