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📚 MATHSKILLER 中英對照天書

二次函數圖像

Quadratic Functions

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HKDSE Mathematics | 數學科

2.1 三種形式 Three Forms

形式 Form	中文	English	特點 Features
$y = ax^2 + bx + c$	一般式	General Form	y-截距 = $c$
$y = a(x-h)^2 + k$	頂點式	Vertex Form	頂點 Vertex = $(h,k)$ ⭐
$y = a(x-p)(x-q)$	因式式	Factored Form	x-截距 = $p$, $q$

2.2 頂點公式 Vertex Formula

頂點 x 坐標 / x-coordinate of vertex

$x = -\dfrac{b}{2a}$

y 坐標：代入原式 / y-coordinate: Substitute into function

📝 例題 Example

題目 Q: 求 Find vertex of $y = 2x^2 - 8x + 5$

中文解答

Step 1：求 x 坐標

$x = -\dfrac{-8}{2(2)} = 2$

Step 2：代入求 y

$y = 2(4) - 16 + 5 = -3$

頂點 = $(2, -3)$

EN Solution

Step 1: Find x-coordinate

$x = -\dfrac{-8}{2(2)} = 2$

Step 2: Substitute to find y

$y = 2(4) - 16 + 5 = -3$

Vertex = $(2, -3)$

⚡ 常見陷阱 / Common Trap!

$y = (x+3)^2 - 5$

頂點 = $(3, -5)$ ❌

頂點 = $(-3, -5)$ ✓

$y = (x+3)^2 - 5$

Vertex = $(3, -5)$ ❌

Vertex = $(-3, -5)$ ✓

2.3 係數與圖像 Coefficients & Graph

觀察 / Observe	判斷	Conclusion
開口向上 Opens up ∪	$a > 0$	$a > 0$
開口向下 Opens down ∩	$a < 0$	$a < 0$
軸在右 Axis on right	$a$, $b$ 異號	$a$, $b$ opposite signs
軸在左 Axis on left	$a$, $b$ 同號	$a$, $b$ same sign
y-截距在上 y-int above	$c > 0$	$c > 0$
y-截距在下 y-int below	$c < 0$	$c < 0$

中文提示

「開口定 a」
「軸 a 異同 b」
「截距定 c」

EN Memory

"Opening → sign of a"
"Axis position → a,b relation"
"y-intercept → sign of c"

2.4 配方法 Completing the Square

📝 例題 Example: $y = 2x^2 - 12x + 13$ → 頂點式 Vertex Form

中文解答

Step 1：抽出 a

$y = 2(x^2 - 6x) + 13$

Step 2：配方

$= 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 13$

$= 2(x-3)^2 - 18 + 13$

答案：$y = 2(x-3)^2 - 5$

EN Solution

Step 1: Factor out a

$y = 2(x^2 - 6x) + 13$

Step 2: Complete square

$= 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 13$

$= 2(x-3)^2 - 18 + 13$

Answer: $y = 2(x-3)^2 - 5$

📋 DSE 真題 / Past Paper

DSE 2022 Q18

Q: 拋物線 The parabola $y = -2x^2 + 8x - 3$ 的頂點 vertex is

A. $(-2, -27)$ B. $(-2, 5)$ C. $(2, -27)$ D. $(2, 5)$

解 Solution: $x = -\frac{8}{2(-2)} = 2$, $y = -8 + 16 - 3 = 5$
答案 Answer: D

DSE 2020 Q14

Q: 若 If $y = x^2 - 4x + k$ 的最小值 minimum is 5，求 find $k$

A. 1 B. 5 C. 9 D. 13

解 Solution: Min = $f(2) = 4 - 8 + k = k - 4 = 5$ → $k = 9$
答案 Answer: C

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第二章 Chapter 2：二次函數圖像 Quadratic Functions