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📚 MATHSKILLER 中英對照天書

二次方程

Quadratic Equations

🇭🇰 中文

🇬🇧 English

HKDSE Mathematics | 數學科

1.1 定義與形式 Definition and Form

中文

📖 概念定義

二次方程是指含有一個未知數且未知數的最高次數為 2 的方程。

📖 Definition

A quadratic equation is a polynomial equation of degree 2 in one variable.

一般形式 General Form

$ax^2 + bx + c = 0$

其中 $a \neq 0$ | where $a \neq 0$

係數 Coefficient	中文名稱	English Name	例 Example
$a$	二次項係數	Coefficient of $x^2$	$a = 2$
$b$	一次項係數	Coefficient of $x$	$b = -5$
$c$	常數項	Constant term	$c = 3$

1.2 求根公式 Quadratic Formula

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

中文

🧠 記法

「負 b 正負開方
b 方減 4ac
除以 2a」

🧠 Memory Tip

"Negative b, plus or minus
square root of b squared minus 4ac
all over 2a"

📝 例題 Example | DSE 風格

題目 Question: 解 Solve $2x^2 - 5x - 3 = 0$

中文解答

識別係數：$a = 2$，$b = -5$，$c = -3$

代入公式：

$x = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \dfrac{5 \pm 7}{4}$

$\therefore x = 3$ 或 $x = -\dfrac{1}{2}$

EN Solution

Identify: $a = 2$, $b = -5$, $c = -3$

Substitute into formula:

$x = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \dfrac{5 \pm 7}{4}$

$\therefore x = 3$ or $x = -\dfrac{1}{2}$

1.3 判別式 Discriminant

判別式 Discriminant

$\Delta = b^2 - 4ac$

$\Delta$	根的性質	Nature of Roots
$\Delta > 0$	兩個不相等實根	Two distinct real roots
$\Delta = 0$	兩個相等實根（重根）	Two equal real roots
$\Delta < 0$	沒有實根	No real roots

⚡ DSE 陷阱 / Trap Warning!

「有實根」→ $\Delta \geq 0$

「有不相等實根」→ $\Delta > 0$

"Has real roots" → $\Delta \geq 0$

"Has distinct roots" → $\Delta > 0$

1.4 韋達定理 Vieta's Formulas

中文

設 $\alpha$ 和 $\beta$ 是 $ax^2 + bx + c = 0$ 的兩根，則：

If $\alpha$ and $\beta$ are roots of $ax^2 + bx + c = 0$, then:

根之和 Sum:	$\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}$
根之積 Product:	$\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$

要求 / Expression	公式 / Formula
$\alpha^2 + \beta^2$	$= (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$
$(\alpha - \beta)^2$	$= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$
$\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$	$= \dfrac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}$

1.5 DSE 歷屆真題 Past Paper Questions

📋 精選真題 Selected Questions

DSE 2022

Q: 若 If $\alpha$, $\beta$ 是 are roots of $3x^2 - 8x + 2 = 0$，求 find $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$

中文解答

由韋達定理：

$\alpha + \beta = \dfrac{8}{3}$

$\alpha\beta = \dfrac{2}{3}$

$\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{8/3}{2/3} = 4$

EN Solution

By Vieta's formulas:

$\alpha + \beta = \dfrac{8}{3}$

$\alpha\beta = \dfrac{2}{3}$

$\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{8/3}{2/3} = 4$

DSE 2016 Q26

Q: $x^2+ax+a=1$ 有相等根 has equal roots，求 find $a$

A. $-1$ B. $2$ C. $0$ or $-4$ D. $-2$ or $2$

解 Solution: $\Delta = a^2 - 4(a-1) = 0$ → $(a-2)^2 = 0$ → $a = 2$
答案 Answer: B

📚 MathsKiller 中英對照天書 Bilingual Textbook

第一章 Chapter 1：二次方程 Quadratic Equations