變分完全攻略 | MathsKiller DSE 數學筆記

1️⃣三種變分類型 Types of Variation

📌 變分類型對照必背

🧠 記憶提示

正變 → 同上同下
反變 → 一上一下
k = 變分常數（永遠不變）

2️⃣解題步驟 Problem Solving

⚡ 標準三步曲

Step 1：寫出變分方程（$y = kx$ 或 $y = k/x$）
Step 2：代入已知值，求 k
Step 3：用完整方程求未知值

📝 例題（正變）

若 y 與 x 成正比，且 x = 4 時 y = 12。求 x = 7 時 y 的值。

寫方程：$y = kx$

代入 x=4, y=12：$12 = k(4)$，得 $k = 3$

完整方程：$y = 3x$

代入 x=7：$y = 3(7) = \mathbf{21}$

📝 例題（反變）

若 y 與 x 成反比，且 x = 2 時 y = 6。求 x = 3 時 y 的值。

寫方程：$y = \dfrac{k}{x}$

代入 x=2, y=6：$6 = \dfrac{k}{2}$，得 $k = 12$

完整方程：$y = \dfrac{12}{x}$

代入 x=3：$y = \dfrac{12}{3} = \mathbf{4}$

3️⃣部分變分 Partial Variation

$y = kx + c$

y 的一部分與 x 成正比，另一部分為常數

⚡ 秒殺技巧

• 部分變分有兩個未知數（k 和 c）
• 需要兩組數據建立聯立方程
• 解聯立方程求 k 和 c

4️⃣DSE 陷阱 & 進階

🔷 百分比變化

⚡ 必記公式

正變：若 x 增加 p%，則 y 增加 p%

反變：若 x 增加 p%，則 y 減少 $\dfrac{p}{100+p} \times 100\%$

平方變：若 y ∝ x²，x 增加 p%
則 y 增加 $[(1+p\%)^2 - 1] \times 100\%$

❌ 常見錯誤

❌ 陷阱 1：反變百分比錯誤
x 增加 25%，y 減少 25% ❌
✓ 正確：y 減少 20%（$\dfrac{25}{125} \times 100\%$）

❌ 陷阱 2：部分變分 vs 正變
$y = 2x + 3$ 是正變 ❌
✓ 正確：這是部分變分（有常數項 3）

📋DSE 標準理由速查表

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