三角學完全攻略 | MathsKiller DSE 數學筆記

1️⃣三角比定義 Trigonometric Ratios

📌 SOH CAH TOA 必背

$\sin\theta = \dfrac{\text{對邊}}{\text{斜邊}}$ (SOH)

$\cos\theta = \dfrac{\text{鄰邊}}{\text{斜邊}}$ (CAH)

$\tan\theta = \dfrac{\text{對邊}}{\text{鄰邊}}$ (TOA)

🧠 記憶提示

SOH CAH TOA
Sin = Opposite / Hypotenuse
Cos = Adjacent / Hypotenuse
Tan = Opposite / Adjacent

2️⃣特殊角的三角比 Special Angles

📌 必背特殊角數值

角度	$\sin$	$\cos$	$\tan$
0°	0	1	0
30°	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
45°	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1
60°	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90°	1	0	未定義

⚡ 秒殺記憶

sin 從 0 到 1：$\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$
cos 從 1 到 0：同上倒轉

3️⃣正弦餘弦公式 Sine & Cosine Rules

📌 正弦公式 Sine Rule 必背

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$

⚡ 適用情況

• 已知兩角一邊（AAS 或 ASA）
• 已知兩邊一對角（SSA）→ 小心「模糊情況」

📌 餘弦公式 Cosine Rule 必背

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

⚡ 適用情況

• 已知三邊求角（SSS）
• 已知兩邊夾角求第三邊（SAS）

4️⃣三角形面積 Area of Triangle

📌 面積公式

$\text{面積} = \dfrac{1}{2}ab\sin C$

用兩邊及其夾角計算面積

🧠 記憶提示

「半乘兩邊乘夾角正弦」

5️⃣特殊角數值 Special Angles

角度	0°	30°	45°	60°	90°
sin	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
tan	0	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	∞

⚡ 快速記法

sin 值：$\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$
（0, 30°, 45°, 60°, 90° 順序）

cos 值：反過來（90°, 60°, 45°, 30°, 0°）

6️⃣進階技巧 & DSE 陷阱

⭐ 模糊情況 Ambiguous Case

⚡ SSA 情況小心！

已知兩邊一對角（如 a, b, A）時：
• 若 A 是鈍角 → 最多 1 解
• 若 A 是銳角：
  - $a < b\sin A$ → 0 解
  - $a = b\sin A$ → 1 解（直角）
  - $b\sin A < a < b$ → 2 解（模糊情況！）
  - $a \geq b$ → 1 解

❌ DSE 常見陷阱

❌ 陷阱 1：計算機模式錯誤
✓ 確保計算機在 DEG（度）模式！唔係 RAD！

🔢 檢查方法：
• 睇螢幕右上角顯示 D（DEG）
• 如果係 R（RAD）或 G（GRAD）→ 答案會錯！

⚡ 切換方法：
SHIFT MODE (SETUP) → 3 (Deg)

❌ 陷阱 2：正弦餘弦公式選錯
SSS/SAS → 用餘弦公式
AAS/ASA → 用正弦公式
✓ 提示：有夾角用餘弦定理，有對角用正弦定理

❌ 陷阱 3：方向角表達錯誤
N30°E ≠ E30°N
✓ 從 N 或 S 開始，轉向 E 或 W

📋DSE 標準理由速查表

⚠️ DSE 考試必寫理由！

定理 / 性質	DSE 標準理由
正弦公式	sine formula / sine rule
餘弦公式	cosine formula / cosine rule
三角形面積公式	area of △ = ½ab sin C
畢氏定理	Pyth. thm.
三角形內角和	∠ sum of △

⚡ 答題示範

                        題目：△ABC 中，a = 5，b = 7，∠C = 60°，求 c。

                        答案：

                        c² = a² + b² - 2ab cos C (cosine formula)

                        c² = 25 + 49 - 2(5)(7)cos 60°

                        c² = 74 - 35 = 39

                        c = √39

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