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🔺 三角形四心完全攻略

Triangle Centres | 內心・外心・形心・垂心

4
核心概念
12
重要性質
偶爾
DSE 出題

📑 本筆記目錄

1內心 Incentre 2外心 Circumcentre 3形心 Centroid 4垂心 Orthocentre 5四心比較總結
❤️ 內心 Incentre
📌 定義
🔴 內心 (Incentre) = 角平分線的交點
三角形的三條角平分線必定相交於一點，該點稱為內心。
記號：通常用 I 表示。
A B C I r
內心 I 是三條角平分線的交點，也是內切圓的圓心
✨ 重要性質
  • 內心到三邊的距離相等（= 內切圓半徑 r）
  • 內心是三角形內切圓的圓心
  • 內心永遠在三角形內部
內切圓半徑公式
$r = \dfrac{\text{面積}}{s} = \dfrac{\Delta}{s}$
其中 $s = \dfrac{a+b+c}{2}$（半周長）
⚡ 解題技巧
「角分內心」 — 角平分線交出內心
「內心等距三邊」 — 內心到三邊距離相等（內切圓半徑）
🔵 外心 Circumcentre
📌 定義
🔵 外心 (Circumcentre) = 垂直平分線的交點
三角形三邊的垂直平分線必定相交於一點，該點稱為外心。
記號：通常用 O 表示。
A B C O R
外心 O 是三邊垂直平分線的交點，也是外接圓的圓心（OA = OB = OC = R）
✨ 重要性質
  • 外心到三個頂點的距離相等（= 外接圓半徑 R）
  • 外心是三角形外接圓的圓心
  • 外心位置：
    • 銳角三角形 → 在內部
    • 直角三角形 → 在斜邊中點
    • 鈍角三角形 → 在外部
外接圓半徑公式（正弦公式）
$R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{b}{2\sin B} = \dfrac{c}{2\sin C}$
⚡ 解題技巧
「垂分外心」 — 垂直平分線交出外心
「外心等距頂點」 — 外心到三頂點距離相等（外接圓半徑）
「直角外心在斜邊中點」 — 記住這個特例！
💡 DSE 常考：直角三角形的外心在斜邊中點，外接圓半徑 = 斜邊 ÷ 2
🟢 形心 Centroid
📌 定義
🟢 形心 (Centroid) = 中線的交點
三角形的三條中線（頂點到對邊中點的連線）必定相交於一點，該點稱為形心。
記號：通常用 G 表示。
A B C M₁ M₂ M₃ G 2 1
形心 G 是三條中線的交點，把每條中線分成 2:1（從頂點算起）
✨ 重要性質
  • 形心把每條中線分成 2:1（從頂點算起）
  • 形心是三角形的重心（質量中心）
  • 形心永遠在三角形內部
  • 形心坐標 = 三頂點坐標的平均值
形心坐標公式
$G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}, \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$
⚡ 解題技巧
「中線形心」 — 中線交出形心
「形心 2:1」 — 形心分中線比例 2:1（近頂點 2，近對邊 1）
「坐標三等分」 — 形心坐標 = 三頂點坐標平均
🧠 記憶技巧
形心分中線 2:1
頂點端「2」、對邊端「1」
🟡 垂心 Orthocentre
📌 定義
🟡 垂心 (Orthocentre) = 高線的交點
三角形的三條高線（從頂點垂直到對邊的線）必定相交於一點，該點稱為垂心。
記號：通常用 H 表示。
A B C H
垂心 H 是三條高線（從頂點垂直到對邊）的交點
✨ 重要性質
  • 垂心位置：
    • 銳角三角形 → 在內部
    • 直角三角形 → 在直角頂點
    • 鈍角三角形 → 在外部
  • 直角三角形的垂心 = 直角頂點
⚡ 解題技巧
「高線垂心」 — 高線（垂線）交出垂心
「直角垂心在直角」 — 直角三角形垂心在直角頂點
📊 四心比較總結 Summary
📋 四心對照表
名稱 定義 性質 位置 記號
內心
Incentre		 角平分線交點 到三邊距離相等
（內切圓圓心）		 永遠在內部 I
外心
Circumcentre		 垂直平分線交點 到三頂點距離相等
（外接圓圓心）		 銳內、直斜中、鈍外 O
形心
Centroid		 中線交點 分中線 2:1
坐標平均		 永遠在內部 G
垂心
Orthocentre		 高線交點 直角三角形
在直角頂點		 銳內、直在頂、鈍外 H
🧠 終極記憶提示
角分內心 → 角平分線 → 內心 (I)
垂分外心 → 垂直平分線 → 外心 (O)
中線形心 → 中線 → 形心 (G)
高線垂心 → 高線 → 垂心 (H)
⚡ 考試秒殺重點
1. 內心：到三邊距離相等 → 內切圓
2. 外心：到三頂點距離相等 → 外接圓
3. 形心：坐標 = 三頂點平均，分中線 2:1
4. 垂心：直角三角形在直角頂點

💡 DSE 最常考：形心坐標公式、直角三角形外心在斜邊中點
🎯 DSE 真題類型
2022 Paper 2 Q41：三角形四心相關題目
2017 Paper 2 Q41：直角三角形內心（答對率 <25%）
2006 Paper 2 Q48：內心相關題目
2025 Paper 2 Q41：三角形內心
🔥 進階技巧 Advanced Techniques
⭐ 歐拉線 Euler Line（必背！）
📌 歐拉線定理
任何三角形中，外心 O、形心 G、垂心 H 三點必定共線！
這條直線叫做歐拉線 (Euler Line)。
$\overrightarrow{OG} : \overrightarrow{GH} = 1 : 2$
⚡ 秒殺記憶
「歐拉線 OGH 比 1:2」
• 外心 O 在一端
• 形心 G 在中間（靠近 O）
• 垂心 H 在另一端
• OG : GH = 1 : 2（形心更靠近外心）
💡 注意：內心 I 不一定在歐拉線上！只有等腰三角形時才在。
🔶 直角三角形的內心秘密（DSE 超高頻！）
A B C I D F E 正方形
直角三角形中，BDIF 是正方形！（B 是直角頂點）
📌 直角三角形內心定理
設直角三角形 ABC 中，∠B = 90°，I 為內心，D、E、F 為切點：
① BDIF 是正方形（BD = DI = IF = FB = r）

② 內切圓半徑公式：
$r = \dfrac{a + b - c}{2}$
（a, b 是直角邊，c 是斜邊）
⚡ DSE 秒殺技巧
見到直角三角形 + 內心 → 立即畫正方形！

設正方形邊長 = r（內切圓半徑）：
• BD = BF = r（切線等長）
• AD = AE = a - r
• CE = CF = b - r
• 由 AE + CE = c → (a-r) + (b-r) = c
• 解得 $r = \dfrac{a + b - c}{2}$
📝 DSE 真題型（2017 Q41 類型）
直角三角形 ABC 中，∠B = 90°，AB = 6，BC = 8。求內切圓半徑。
先求斜邊：$AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$
用公式：$r = \dfrac{a + b - c}{2} = \dfrac{6 + 8 - 10}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$
答案：內切圓半徑 = 2
💎 外接圓半徑公式
正弦公式推導
$R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{b}{2\sin B} = \dfrac{c}{2\sin C}$
用三邊和面積
$R = \dfrac{abc}{4K}$
（K 是三角形面積）
⚡ 直角三角形外接圓秒殺
外心在斜邊中點，外接圓半徑 = 斜邊 ÷ 2

直角三角形 ABC（∠B = 90°）：
• 外心 O = AC 中點
• $R = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{c}{2}$
📋DSE 標準理由速查表
⚠️ DSE 考試必寫理由！
四心 DSE 標準理由
內心（角平分線交點） incentre (intersection of angle bisectors)
外心（垂直平分線交點） circumcentre (intersection of ⊥ bisectors)
重心（中線交點） centroid (intersection of medians)
垂心（高線交點） orthocentre (intersection of altitudes)

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