統計學完全攻略 | MathsKiller DSE 數學筆記

1️⃣集中趨勢 Measures of Central Tendency

📌 四大集中趨勢量度必背

① 平均數 Mean

$\bar{x} = \dfrac{\sum x}{n} = \dfrac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$

② 中位數 Median

排序後中間的數（n 為奇數）或中間兩數平均（n 為偶數）

③ 眾數 Mode

出現次數最多的數

④ 加權平均數 Weighted Mean

$\bar{x}_w = \dfrac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$

⚡ 秒殺判斷

• 有極端值（outlier）→ 用中位數較準確
• 數據對稱 → 平均數 ≈ 中位數
• 類別數據 → 只能用眾數

2️⃣離差量度 Measures of Dispersion

📌 離差量度公式必背

① 分佈域 Range

分佈域 = 最大值 - 最小值

② 四分位數間距 IQR

$IQR = Q_3 - Q_1$

③ 標準差 Standard Deviation

$\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}}$

或用：$\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2}$

🧠 標準差計算步驟

「平方平均減平均平方，開方」
$\sqrt{E(X^2) - [E(X)]^2}$

⚡ 計算機完整操作 (CASIO fx-50FH II)

【單一數據】
MODE → 3 (STAT) → 1 (1-VAR)
逐個輸入數據，每個按 =

【頻數表數據】
MODE → 3 (STAT) → 1 (1-VAR)
SHIFT MODE (SETUP) → ↓ → 4 (STAT) → 1 (ON)
輸入：數值, 頻數按 =

【讀取結果】
AC → SHIFT 1 (STAT) → 4 (Var)
• 1:n → 數據個數
• 2:$\bar{x}$ → 平均值
• 3:$\sigma x$ → 標準差
• 4:$\Sigma x$ → 數據總和
• 5:$\Sigma x^2$ → 平方和

🧠 考試必記

• 輸入完數據記得按 AC 先 read 結果
• 輸入錯可以用 DEL 刪除
• 完成後記得 MODE 1 返回正常模式

3️⃣箱形圖 Box-and-Whisker Plot

📌 箱形圖五個數值

位置	數值	說明
最左	最小值	Minimum
左邊界	Q₁（下四分位數）	25% 位置
中線	Q₂（中位數）	50% 位置
右邊界	Q₃（上四分位數）	75% 位置
最右	最大值	Maximum

⚡ DSE 常考

• 箱子長度 = IQR = Q₃ - Q₁
• 異常值判斷：< Q₁ - 1.5×IQR 或 > Q₃ + 1.5×IQR
• 比較兩組數據時看：中位數位置、IQR 大小

4️⃣DSE 陷阱 & 進階

⭐ 數據變換對統計量影響

變換	平均數	標準差
每項 + k	+ k	不變
每項 × k	× k	× \|k\|

⚡ 秒殺記憶

• 加減常數：平均數變，標準差唔變
• 乘除常數：平均數和標準差都變

❌ 常見錯誤

❌ 陷阱 1：中位數位置
n 個數據，中位數位置 = n/2 ❌
✓ 奇數：第 (n+1)/2 個
✓ 偶數：第 n/2 和 n/2+1 個的平均

❌ 陷阱 2：標準差平方
標準差相加 = 總標準差 ❌
✓ 方差可以加：$\sigma_{total}^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2$

📋DSE 標準理由速查表

⚠️ DSE 考試必寫理由！

概念	DSE 標準理由
平均數	mean
中位數	median
眾數	mode
標準差	standard deviation
四分位數	quartiles
四分位數間距	inter-quartile range (IQR)

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