相似與全等完全攻略 | MathsKiller DSE 數學筆記

1️⃣全等三角形 Congruent Triangles

📌 全等條件必背

條件	全名	說明
SSS	Side-Side-Side	三邊相等
SAS	Side-Angle-Side	兩邊及夾角相等
ASA	Angle-Side-Angle	兩角及夾邊相等
AAS	Angle-Angle-Side	兩角及非夾邊相等
RHS	Right-Hypotenuse-Side	直角、斜邊、一股相等

🧠 記憶提示

「三邊、兩邊夾角、兩角夾邊、兩角加邊、直角斜邊股」

2️⃣相似三角形 Similar Triangles

📌 相似條件必背

條件	說明
AAA / AA	三個角相等（實際上兩角相等即可）
三邊成比例	三邊比例相等
兩邊成比例且夾角相等	SAS 相似

相似三角形比例關係

$\dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{BC}{QR} = \dfrac{CA}{RP} = k$

⚡ 相似 vs 全等

• 全等 = 形狀相同 + 大小相同
• 相似 = 形狀相同，大小可以不同
• 全等三角形一定相似，相似三角形不一定全等

3️⃣相似比例關係 Ratio Properties

若相似比 = k : 1

對應邊比 = $k : 1$

面積比 = $k^2 : 1$

⚡ DSE 應用

• 相似三角形 → 對應角相等
• 邊放大 2 倍 → 面積放大 4 倍
• 常用於求未知邊長、面積問題

4️⃣DSE 陷阱

❌ 常見錯誤

❌ 陷阱 1：對應邊配對錯誤
△ABC ~ △PQR 時：
✓ AB 對應 PQ，BC 對應 QR，CA 對應 RP
✓ 按字母順序配對！

❌ 陷阱 2：SSA 不能證全等
兩邊一對角（SSA）不能證全等！❌
✓ 只有 SAS（兩邊夾角）才可以

❌ 陷阱 3：AAA 只證相似不證全等
三角相等 → 全等 ❌
✓ 三角相等只能證相似，不能證全等

📋DSE 標準理由速查表

⚠️ DSE 考試必寫理由！

全等 / 相似條件	DSE 標準理由
SSS 全等	SSS
SAS 全等	SAS
ASA 全等	ASA
AAS 全等	AAS
RHS 全等	RHS
AAA 相似	AAA
三邊成比例相似	3 sides proportional
兩邊成比例且夾角相等	2 sides proportional, incl. ∠
全等三角形對應邊	corr. sides, ≅△s
全等三角形對應角	corr. ∠s, ≅△s
相似三角形對應邊成比例	corr. sides, ~△s
相似三角形對應角相等	corr. ∠s, ~△s

⚡ 答題示範

                        證明 △ABC ≅ △DEF：

                        In △ABC and △DEF,

                        AB = DE (given)

                        BC = EF (given)

                        ∠ABC = ∠DEF (given)

                        ∴ △ABC ≅ △DEF (SAS)

🔺 相似與全等攻略