數列與級數完全攻略 | MathsKiller DSE 數學筆記

1️⃣等差數列 Arithmetic Sequence

📌 基本定義與公式必背

等差數列：相鄰兩項之差為常數 d

第 n 項：$T(n) = a + (n-1)d$

前 n 項和：$S(n) = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \dfrac{n(a + l)}{2}$

a = 首項，d = 公差，l = 末項，n = 項數

🧠 記憶提示

第 n 項：「首項加 (n-1) 個公差」
前 n 項和：「項數乘首末和除 2」

⚡ 秒殺技巧

• 搵公差 d：d = T(n) - T(n-1) = 任意相鄰兩項之差
• 搵首項 a：用已知項代入公式反推
• 前 n 項和：如果知道首項和末項，用 $\dfrac{n(a+l)}{2}$ 更快！

📝 例題

等差數列首項為 3，公差為 4。求第 10 項及前 10 項之和。

$T(10) = 3 + (10-1) \times 4 = 3 + 36 = \mathbf{39}$

$S(10) = \dfrac{10}{2}(3 + 39) = 5 \times 42 = \mathbf{210}$

2️⃣等比數列 Geometric Sequence

📌 基本定義與公式必背

等比數列：相鄰兩項之比為常數 r

第 n 項：$T(n) = ar^{n-1}$

前 n 項和：$S(n) = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r} = \dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$（$r \neq 1$）

a = 首項，r = 公比，n = 項數

🧠 記憶提示

第 n 項：「首項乘 r 的 (n-1) 次方」
前 n 項和：「首項乘 (1 減 r 的 n 次方) 除以 (1 減 r)」

⚡ 秒殺技巧

• 搵公比 r：r = T(n)/T(n-1) = 任意相鄰兩項之商
• 注意：r = 1 時，S(n) = na（所有項相同）
• 公比 r < 1 用 $\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$；r > 1 用 $\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$ 計算較方便

📝 例題

等比數列首項為 2，公比為 3。求第 5 項及前 5 項之和。

$T(5) = 2 \times 3^{5-1} = 2 \times 81 = \mathbf{162}$

$S(5) = \dfrac{2(3^5 - 1)}{3-1} = \dfrac{2(243-1)}{2} = \mathbf{242}$

3️⃣等差 vs 等比比較

	等差數列 A.P.	等比數列 G.P.
定義	相鄰項之差相等	相鄰項之比相等
常數	公差 d	公比 r
通項公式	$T(n) = a + (n-1)d$	$T(n) = ar^{n-1}$
求和公式	$S(n) = \dfrac{n(a+l)}{2}$	$S(n) = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$
特徵	線性增長	指數增長

💡 DSE 常考：複利息問題用等比、分期付款用等差或等比、人口增長用等比

4️⃣無限等比級數 Infinite G.P.

📌 當 |r| < 1 時的無限和

若 $|r| < 1$，無限等比級數收斂

$S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$

⚡ 秒殺判斷

• $|r| < 1$ → 級數收斂，有限和
• $|r| \geq 1$ → 級數發散，無限大

📝 例題

求 $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + ...$ 的和

$a = 1$，$r = \dfrac{1}{2}$

$|r| = \dfrac{1}{2} < 1$，收斂

$S_\infty = \dfrac{1}{1-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = \mathbf{2}$

5️⃣DSE 應用題型

🔷 複利息（等比數列應用）

$A = P(1+r)^n$

P = 本金，r = 年利率（小數），n = 年數，A = 本利和

📝 例題

存款 $10,000，年利率 5%，3 年後本利和是多少？

$A = 10000(1 + 0.05)^3$

$A = 10000(1.05)^3$

$A = 10000 \times 1.157625 = \$11576.25$

⚡ 增長/折舊問題

增長 p%：$A = P(1 + p\%)^n$
折舊 p%：$A = P(1 - p\%)^n$

💡 記住：增長用 +，折舊用 -

🔷 文字題 Check/Reject 提醒

⚠️ 答案要 Make Sense！

• 項數 n：必須是正整數 → reject 小數/負數
• 年數：通常是正整數
• 公比 r：
  - 增長：$r > 1$
  - 折舊：$0 < r < 1$
  - 負數公比：隔項正負相間

❌ DSE 陷阱

❌ 陷阱 1：T(n) 與 S(n) 關係
$T(n) = S(n) - S(n-1)$（當 n ≥ 2）
✓ 注意：$T(1) = S(1) = a$

❌ 陷阱 2：等比求和時 r = 1
公式 $\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ 當 r = 1 時分母 = 0！
✓ 當 r = 1 時，S(n) = na

❌ 陷阱 3：項數計算錯誤
從第 3 項到第 10 項共有幾項？
✓ 項數 = 10 - 3 + 1 = 8 項（唔係 7 項！）

📋DSE 標準理由速查表

⚠️ DSE 考試必寫理由！

公式	DSE 標準理由
等差數列通項	general term of A.P.
等差級數求和	sum of A.P.
等比數列通項	general term of G.P.
等比級數求和	sum of G.P.
無限等比級數	sum to infinity of G.P.
複利息公式	compound interest formula

📊 數列與級數攻略