弧度與扇形完全攻略 | MathsKiller DSE 數學筆記

1️⃣弧度 Radians

📌 度數與弧度換算必背

$\pi \text{ rad} = 180°$

$1 \text{ rad} = \dfrac{180°}{\pi} \approx 57.3°$

$1° = \dfrac{\pi}{180} \text{ rad}$

🧠 快速換算

度 → 弧度：乘 $\dfrac{\pi}{180}$
弧度 → 度：乘 $\dfrac{180}{\pi}$

2️⃣扇形公式 Sector Formulas

📌 弧長與扇形面積

① 弧長 Arc Length

$l = r\theta$（θ 用弧度）

$l = \dfrac{\theta}{360°} \times 2\pi r$（θ 用度數）

② 扇形面積 Sector Area

$A = \dfrac{1}{2}r^2\theta$（θ 用弧度）

$A = \dfrac{\theta}{360°} \times \pi r^2$（θ 用度數）

⚡ 秒殺記憶

• 弧長 = 半徑 × 弧度
• 扇形面積 = 半 × 半徑² × 弧度
• 或者用「佔圓的比例」計算

3️⃣弓形面積 Segment Area

弓形 = 扇形 - 三角形

$A_{\text{弓形}} = \dfrac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)$

⚡ DSE 常考

• 弓形面積 = 扇形面積 - 三角形面積
• 三角形面積用 $\dfrac{1}{2}r^2\sin\theta$

4️⃣DSE 陷阱

❌ 常見錯誤

❌ 陷阱 1：弧度/度數混淆
用度數代入 $l = r\theta$ ❌
✓ $l = r\theta$ 只適用於弧度！

❌ 陷阱 2：計算機模式
✓ 用弧度公式時：確保計算機在 RAD 模式
✓ 用度數公式時：確保計算機在 DEG 模式

❌ 陷阱 3：優弧/劣弧
✓ 劣弧：θ < π（< 180°）
✓ 優弧：θ > π（> 180°）
✓ 題目問「major arc」時要用 (2π - θ)

📋DSE 標準理由速查表

⚠️ DSE 考試必寫理由！

公式	DSE 標準理由
弧度轉換	π rad = 180°
弧長	arc length = rθ
扇形面積	area of sector = ½r²θ
弓形面積	area of segment = area of sector - area of △

🥧 弧度與扇形攻略