二次函數圖像完全攻略 | MathsKiller DSE 數學筆記

1️⃣三種標準形式 Standard Forms

📌 二次函數三種表達形式必識

① 一般式 General Form

$y = ax^2 + bx + c$

直接睇到 y 截距 = c

② 頂點式 Vertex Form

$y = a(x - h)^2 + k$

直接睇到頂點 = $(h, k)$

③ 因式式 Factored Form

$y = a(x - p)(x - q)$

直接睇到 x 截距 = $p$ 和 $q$

⚡ 秒殺判斷：睇咩形式最快？

• 搵 y 截距 → 睇一般式 (c 值)
• 搵頂點 → 睇頂點式 (h, k)
• 搵 x 截距 → 睇因式式 (p, q)

2️⃣圖像特徵分析 Graph Features

📐 a 值決定開口方向

a > 0 開口向上（笑臉 😊）| a < 0 開口向下（喊臉 😢）

🧠 記憶提示

a 正 → 笑臉 😊 → 有最小值
a 負 → 喊臉 😢 → 有最大值

✨ |a| 值影響開口闊度

$|a|$ 越大 → 開口越窄（越陡）
$|a|$ 越小 → 開口越闊（越平）
$|a| = 1$ 時為標準拋物線

3️⃣頂點與對稱軸 Vertex & Axis

📍 求頂點坐標必背

頂點公式（從 $y = ax^2 + bx + c$）

頂點 $= \left(-\dfrac{b}{2a}, \dfrac{4ac - b^2}{4a}\right)$

📌 x 坐標：$x = -\dfrac{b}{2a}$

📌 y 坐標：將 x 代入原式，即 $y = a\left(-\dfrac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\dfrac{b}{2a}\right) + c$

（或直接用公式 $y = \dfrac{4ac - b^2}{4a} = c - \dfrac{b^2}{4a}$）

⚡ 實際計算方法（推薦！）

Step 1：用公式求 x 坐標：$x = -\dfrac{b}{2a}$

Step 2：將 x 坐標代入原式求 y 坐標

例：$y = 2x^2 - 8x + 5$ 求頂點
① $x = -\dfrac{-8}{2(2)} = \dfrac{8}{4} = 2$
② $y = 2(2)^2 - 8(2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$
③ 頂點 $= (2, -3)$ ✓

對稱軸方程

$x = -\dfrac{b}{2a}$

（對稱軸通過頂點，是一條垂直線）

⚡ 秒殺技巧

從頂點式 $y = a(x - h)^2 + k$ 直接讀：
• 頂點 = $(h, k)$
• 對稱軸 = $x = h$

注意：$(x - h)$ 中 h 要變號！
例如 $y = 2(x + 3)^2 - 5$ → 頂點 = $(-3, -5)$

📝 例題

求 $y = 2x^2 - 8x + 5$ 的頂點和對稱軸。

對稱軸：$x = -\dfrac{-8}{2(2)} = -\dfrac{-8}{4} = 2$

代入 x = 2：$y = 2(2)^2 - 8(2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$

頂點 = (2, -3)，對稱軸：x = 2

4️⃣與 x 軸交點 x-intercepts

🎯 判別式決定交點數目

$\Delta = b^2 - 4ac$

判別式 Δ	交點數目	圖像
Δ > 0	2 個交點	穿過 x 軸
Δ = 0	1 個交點（相切）	剛好碰到 x 軸
Δ < 0	0 個交點	完全在 x 軸上方/下方

判別式決定拋物線與 x 軸的交點數目

5️⃣圖像變換 Graph Transformations

🔄 平移與變換規則

變換	新方程	說明
向上移 k 單位	$y = f(x) + k$	y 值 +k
向下移 k 單位	$y = f(x) - k$	y 值 -k
向右移 h 單位	$y = f(x - h)$	x 變 (x-h)【反直覺】
向左移 h 單位	$y = f(x + h)$	x 變 (x+h)【反直覺】
x 軸反射	$y = -f(x)$	上下翻轉
y 軸反射	$y = f(-x)$	左右翻轉

⚡ 秒殺記憶

「上下看 y，左右看 x，x 要反」
• 上下移動：直接加減在 y（函數外面）
• 左右移動：在 x 處改，但方向相反！
→ 右移用 (x-h)，左移用 (x+h)

6️⃣MC 秒殺技巧 Quick-Kill Tips

🎯 Paper 2 圖像題秒殺

⚡ 技巧 1：睇 4 個關鍵點

1. 開口方向：a > 0 向上，a < 0 向下
2. y 截距：代 x = 0，得 c 值
3. 頂點位置：對稱軸 x = -b/(2a)
4. x 截距：用判別式或因式分解

⚡ 技巧 2：代入特殊值

• 代 x = 0 → 得 y 截距 = c
• 代 x = 1 → 得 y = a + b + c
• 代 x = -1 → 得 y = a - b + c

用呢啲值同圖像對比，排除錯誤選項！

⚡ 技巧 3：判斷係數正負

從圖像判斷 a, b, c 嘅正負：
• a：開口向上 (+)，向下 (-)
• c：y 截距在 x 軸上方 (+)，下方 (-)
• b：對稱軸在 y 軸右邊 → ab < 0 → b 同 a 異號

🧠 判斷 b 嘅正負方法

對稱軸 x = -b/(2a)
「右負左正」（指 b/a 的值）
對稱軸在右邊 → b 同 a 異號
對稱軸在左邊 → b 同 a 同號

📝 DSE 常考題型

題型 1：給方程，問圖像特徵（頂點、截距、開口）
題型 2：給圖像，選正確方程
題型 3：圖像變換後的新方程
題型 4：判斷 a, b, c 的正負
題型 5：最大值/最小值問題

7️⃣進階技巧 Advanced Techniques

⭐ 根與係數關係（韋達定理）

若 α, β 是 $ax^2 + bx + c = 0$ 的兩根

$\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}$ （兩根之和）

$\alpha \beta = \dfrac{c}{a}$ （兩根之積）

⚡ 秒殺記憶

「和負商 b，積商 c」
• 和 = -b/a（b 前面有負號）
• 積 = c/a（直接除）

常用延伸公式：
• $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$
• $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta}$

📝 例題：根與係數

若 α, β 是 $x^2 - 5x + 3 = 0$ 的兩根，求 $\alpha^2 + \beta^2$。

$\alpha + \beta = -\dfrac{-5}{1} = 5$

$\alpha\beta = \dfrac{3}{1} = 3$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 5^2 - 2(3) = 25 - 6 = \mathbf{19}$

🔷 配方法速算

將 $y = ax^2 + bx + c$ 化為頂點式

$y = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + c - \dfrac{b^2}{4a}$

⚡ 配方三步曲

Step 1：提出 a → $y = a(x^2 + \dfrac{b}{a}x) + c$
Step 2：括號內加減 $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$
Step 3：展開整理得頂點式

📈 圖像法解方程（進階）

⚡ 解 $ax^2+bx+c = k$ 的圖像法

情況 1：給的圖剛好是 $y = ax^2+bx+c$
→ 直接畫水平線 $y = k$，讀交點的 $x$ 值

情況 2：給的圖是 $y = ax^2+bx+c$，但要解另一條式
例：圖是 $y = x^2+2x+3$，要解 $x^2+2x-7=0$
$x^2+2x-7 = 0$
$x^2+2x+3-7 = 3$ （加 3 湊成 $y$）
$x^2+2x+3 = 10$
$y = 10$
→ 畫 $y = 10$ 的水平線，讀交點

📌 圖解法步驟

1. 將方程轉成「y = 某數」
2. 喺圖上畫水平線
3. 讀取交點嘅 x 坐標

❌ DSE 陷阱題型

❌ 陷阱 1：頂點式符號錯誤

$y = (x + 3)^2$ 的頂點是 (3, 0) ❌
✓ 正確：頂點是 (-3, 0)！(x + 3) = (x - (-3))

❌ 陷阱 2：平移方向錯誤

$y = (x - 2)^2$ 是向左移 2 ❌
✓ 正確：是向右移 2！x 方向與符號相反

❌ 陷阱 3：判別式用錯

$\Delta = b^2 + 4ac$ ❌
✓ 正確：$\Delta = b^2 - 4ac$（係減號！）

❌ 陷阱 4：最大值最小值混淆

a > 0 時有最大值 ❌
✓ 正確：a > 0 開口向上，有最小值！

📋DSE 標準理由速查表

⚠️ DSE 考試必寫理由！

概念	DSE 標準理由
頂點式	vertex form y = a(x-h)² + k
頂點坐標	vertex = (h, k)
對稱軸	axis of symmetry x = h
最大/最小值	max/min value
配方法	completing the square
圖像變換	transformation of graphs

📈 二次函數圖像攻略

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