二次方程完全攻略 | MathsKiller DSE 數學筆記

1️⃣四種解法 Solution Methods

📌 解二次方程的四種方法

方法	適用情況	例子
① 因式分解	能輕易分解	$x^2 - 5x + 6 = 0$
② 求根公式	萬能方法	任何二次方程
③ 配方法	求頂點/轉形式	$x^2 + 4x + 1 = 0$
④ 圖解法	估算/驗證	睇 x 截距

⚡ 秒殺選擇

• 係數細、易分解 → 因式分解（最快）
• 分解唔到 → 求根公式（最穩）
• 要轉頂點式 → 配方法

2️⃣求根公式 Quadratic Formula

📌 萬能求根公式必背

對於 $ax^2 + bx + c = 0$

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

🧠 記法

「負 b 正負開方 b 方減 4ac，除以 2a」

📝 例題

解 $2x^2 - 5x - 3 = 0$

$a = 2, b = -5, c = -3$

$x = \dfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)}$

$x = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \dfrac{5 \pm 7}{4}$

$x = 3$ 或 $x = -\dfrac{1}{2}$

3️⃣判別式 Discriminant

📌 判別式 Δ = b² - 4ac 必考

$\Delta = b^2 - 4ac$

判別式 Δ	根的性質	圖像特徵
Δ > 0	兩個不相等實根	與 x 軸相交於兩點
Δ = 0	兩個相等實根（重根）	與 x 軸相切
Δ < 0	沒有實根	與 x 軸不相交

⚡ DSE 常考題型

• 「方程有實根」→ Δ ≥ 0
• 「方程有兩個不相等實根」→ Δ > 0
• 「方程有重根」→ Δ = 0
• 「方程沒有實根」→ Δ < 0

4️⃣韋達定理 Vieta's Formulas

📌 根與係數的關係必背

設 α, β 是 $ax^2 + bx + c = 0$ 的兩根

根之和：$\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}$

根之積：$\alpha \cdot \beta = \dfrac{c}{a}$

🧠 記憶提示

「和負商 b，積商 c」
（和 = -b/a，積 = c/a）

✨ 常用變形公式

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$
$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$
$\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}$
$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

📝 例題

若 α, β 是 $x^2 - 5x + 3 = 0$ 的兩根，求 $\alpha^2 + \beta^2$。

$\alpha + \beta = 5$，$\alpha\beta = 3$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$= 5^2 - 2(3) = 25 - 6 = \mathbf{19}$

5️⃣構建方程 Forming Equations

📌 已知兩根構建方程

若兩根為 α 和 β

$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$

⚡ 秒殺步驟

1. 計算 根之和 S = α + β
2. 計算 根之積 P = αβ
3. 寫出方程：$x^2 - Sx + P = 0$

📝 例題

構建一個二次方程，使其兩根為 3 和 -2。

根之和 = $3 + (-2) = 1$

根之積 = $3 \times (-2) = -6$

方程：$x^2 - 1 \cdot x + (-6) = 0$

即 $\mathbf{x^2 - x - 6 = 0}$

6️⃣文字題解題框架 Word Problems

📝 解題五步曲

⚡ 標準流程（一定要跟！）

Step 1 - Let：設未知數 x
例：連續雙數，設較小為 x，較大為 x+2

Step 2 - Set：根據題意列方程
展開、移項、化成 general form

Step 3 - Solve：解方程
文字題答案多數是整數 → 用因式分解

Step 4 - Check/Reject：檢查答案
代回題目 check，唔 make sense 就 reject（要寫原因！）

Step 5 - Answer：根據題目要求答題
睇清題目問咩，唔好答錯嘢

⚠️ Reject 唔一定 reject 負數！
要根據實際情況判斷，例如：
• 長度、年齡 → reject 負數 ✓
• 溫度、利潤 → 負數可能合理 ✓

7️⃣計算機秒殺 Calculator Tips

🔢 CASIO fx-50FH II / fx-3650P II

⚡ EQN 模式解二次方程

Step 1：MODE → 5 (EQN) → 3 (ax²+bx+c=0)
Step 2：輸入 a, b, c 值
Step 3：按 = 得出兩個根

💡 技巧：
• 計算機出整數（如 5）→ 因式是 (x - 5)
• 計算機出分數（如 3/2）→ 因式是 (2x - 3)
（分母寫前，正負相反寫後）

🧠 快速因式分解

計算機得出 x = 2 和 x = -3
→ 因式 = (x - 2)(x + 3)
（答案正負相反！）

8️⃣DSE 陷阱

❌ 常見錯誤

❌ 陷阱 1：韋達定理符號錯誤
根之和 = b/a ❌
✓ 正確：根之和 = -b/a（有負號！）

❌ 陷阱 2：「實根」vs「不相等實根」
「有實根」→ Δ > 0 ❌
✓ 正確：「有實根」→ Δ ≥ 0（包含 Δ = 0 重根情況！）

❌ 陷阱 3：求根公式代入錯誤
✓ 小心 b 和 c 的符號！
✓ 例：$2x^2 - 5x - 3 = 0$，b = -5（唔係 5！）

📋DSE 標準理由速查表

⚠️ DSE 考試必寫理由！

定理 / 公式	DSE 標準理由
求根公式	quadratic formula
判別式 Δ	discriminant
韋達定理（根與係數）	sum and product of roots
因式分解	by factorization

📐 二次方程完全攻略

📑 本筆記目錄