概率完全攻略 | MathsKiller DSE 數學筆記

1️⃣基本概念 Basic Concepts

📌 概率的定義

$P(A) = \dfrac{\text{事件 A 的結果數}}{\text{所有可能結果數}} = \dfrac{n(A)}{n(S)}$

⚡ 基本性質

• 概率範圍：$0 \leq P(A) \leq 1$
• 必然事件：$P(S) = 1$
• 不可能事件：$P(\emptyset) = 0$
• 互補事件：$P(A') = 1 - P(A)$

🧠 DSE 常用技巧

求「至少一次」→ 用 1 - P(全部不發生)
通常比直接計算更快！

2️⃣加法與乘法法則

📌 加法法則（或）必背

互斥事件（不能同時發生）

$P(A \text{ 或 } B) = P(A) + P(B)$

非互斥事件

$P(A \text{ 或 } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ 且 } B)$

📌 乘法法則（且）必背

獨立事件（互不影響）

$P(A \text{ 且 } B) = P(A) \times P(B)$

非獨立事件（條件概率）

$P(A \text{ 且 } B) = P(A) \times P(B|A)$

⚡ 秒殺判斷

• 見到「或」→ 用加法
• 見到「且」/ 「連續」→ 用乘法
• 抽籤「放回」→ 獨立事件，直接相乘
• 抽籤「不放回」→ 條件概率，分母要減

3️⃣排列與組合 Permutation & Combination

📌 排列 Permutation（順序重要）

$\mathrm{P}^n_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$

從 n 個中選 r 個排列（順序重要）

📌 組合 Combination（順序不重要）

$\mathrm{C}^n_r = \binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$

從 n 個中選 r 個組合（順序不重要）

	排列 P	組合 C
順序	重要 ✓	不重要 ✗
例子	密碼、排隊、委員職位	抽人、選組合、配搭
公式	$\dfrac{n!}{(n-r)!}$	$\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$

🧠 記憶提示

排列要排隊（順序重要）
組合齊就得（順序不重要）

4️⃣DSE 常見題型

🎯 題型分類

📝 題型 1：至少一次問題

擲骰 3 次，求至少一次擲出 6 的概率。

P(不擲出 6) = $\dfrac{5}{6}$

P(三次都不擲出 6) = $\left(\dfrac{5}{6}\right)^3 = \dfrac{125}{216}$

P(至少一次) = $1 - \dfrac{125}{216} = \mathbf{\dfrac{91}{216}}$

📝 題型 2：不放回抽籤

袋中有 3 紅球、2 藍球。不放回抽兩次，求兩次都是紅球的概率。

P(第一次紅) = $\dfrac{3}{5}$

P(第二次紅|第一次紅) = $\dfrac{2}{4}$（剩 2 紅，總 4 球）

P(兩次紅) = $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \mathbf{\dfrac{3}{10}}$

⚡ 計算機程式推薦

CASIO fx-50FH II：
• nPr：按 [SHIFT] [×] (nPr)
• nCr：按 [SHIFT] [÷] (nCr)
• n!：按 [SHIFT] [x⁻¹] (x!)

5️⃣進階技巧 Advanced Techniques

⭐ 期望值 Expected Value（DSE 高頻！）

$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i) = x_1 \cdot P(x_1) + x_2 \cdot P(x_2) + ...$

期望值 = 每個結果 × 該結果的概率之和

📝 例題：公平遊戲

遊戲：擲骰一次，擲出 6 贏 $60，否則輸 $12。這遊戲公平嗎？

P(贏) = $\dfrac{1}{6}$，贏 $60

P(輸) = $\dfrac{5}{6}$，輸 $12

E(X) = $60 \times \dfrac{1}{6} + (-12) \times \dfrac{5}{6}$
= $10 - 10 = \mathbf{0}$

期望值 = 0 表示公平遊戲 ✓

⚡ 期望值秒殺

公平遊戲 → E(X) = 0（無人著數）
期望贏錢 → E(X) > 0（長遠有利）
期望輸錢 → E(X) < 0（長遠蝕底）

DSE 常問：求入場費 / 判斷遊戲是否公平

🔷 幾何概率 Geometric Probability

$P = \dfrac{\text{有利區域面積（或長度）}}{\text{總區域面積（或長度）}}$

📝 例題：飛鏢

圓形飛鏢盤半徑 10cm，正中心有半徑 2cm 的紅心。隨機擲中紅心的概率是？

紅心面積 = $\pi \times 2^2 = 4\pi$

總面積 = $\pi \times 10^2 = 100\pi$

P(紅心) = $\dfrac{4\pi}{100\pi} = \mathbf{\dfrac{1}{25}}$

⚡ 幾何概率常見類型

1. 圓形區域：面積比 = 半徑平方比 $\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2$
2. 線段：長度比
3. 時間：等待時間問題（用長度類比）

🎯 條件概率與樹狀圖

條件概率公式

$P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$

在 A 發生的情況下，B 發生的概率

🧠 樹狀圖技巧

1. 每條路徑：概率相乘
2. 多條路徑：概率相加
3. 每個分支處所有概率加起來 = 1

⚡ 全概率公式（DSE 高分技巧）

若事件 B 可以通過 A₁, A₂, ... Aₙ 任一路徑發生：

$P(B) = P(A_1) \times P(B|A_1) + P(A_2) \times P(B|A_2) + ...$

用法：畫樹狀圖，將所有到達 B 的路徑概率加起來！

6️⃣概率文字題解題框架

📝 解題四步曲

⚡ 標準流程

Step 1 - 畫圖：
樹形圖（Tree Diagram）或列表

Step 2 - 判斷類型：
• 「同時」「而且」→ 相乘（AND）
• 「或者」「其中一個」→ 相加（OR）
• 「至少一個」→ 用 1 - P(冇)

Step 3 - 判斷放回：
• 有放回：每次概率唔變
• 無放回：分母要減 1

Step 4 - 計算：
乘定加？分母變唔變？

📝 例題

袋中有 3 紅 2 藍球，無放回抽 2 球，求至少 1 紅的概率。

P(冇紅) = P(藍,藍) = $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{20}$

P(至少1紅) = $1 - \dfrac{2}{20} = \dfrac{18}{20} = \dfrac{9}{10}$

7️⃣DSE 陷阱與常見錯誤

🔶 排列組合判斷表

題目關鍵詞	用 P 還是 C？	原因
密碼、電話號碼	P（排列）	順序重要
主席、秘書、財政	P（排列）	職位不同
排隊、座位次序	P（排列）	位置有分
選代表、選委員	C（組合）	純揀人
配搭、分組	C（組合）	無分先後
握手、配對	C（組合）	無分先後

❌ 常見錯誤提醒

❌ 錯誤 1：「至少」問題直接計算

求「至少一次」時，直接列舉所有情況 ❌
✓ 正確：用 1 - P(一次都無) 更快！

❌ 錯誤 2：混淆「放回」與「不放回」

不放回時用相同概率相乘 ❌
✓ 正確：不放回第二次分母要減 1！

❌ 錯誤 3：排列組合選擇錯誤

選委員會職位時用 C ❌
✓ 正確：有職位分別 → P，純揀人 → C

❌ 錯誤 4：「或」與「且」混淆

「A 或 B」用乘法 ❌
✓ 正確：「或」用加法，「且」用乘法！

⚡ 防錯 Checklist

做概率題前，必須確認：
☐ 是「放回」還是「不放回」？
☐ 是「或」還是「且」？
☐ 順序重要嗎？（P 還是 C）
☐ 是「至少」問題嗎？（考慮用補集）
☐ 事件是否互斥？是否獨立？

📋DSE 標準理由速查表

⚠️ DSE 考試必寫理由！

定理 / 概念	DSE 標準理由
相加法則	addition law of probability
相乘法則（獨立事件）	multiplication law (independent events)
互斥事件	mutually exclusive events
餘事件	complementary events / P(A') = 1 - P(A)
條件概率	conditional probability
排列	permutation
組合	combination

🎲 概率完全攻略