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📘 MathsKiller 獨家筆記
📊 多項式完全攻略
Polynomials | 餘式定理・因式定理
1️⃣
餘式定理 Remainder Theorem
📌 定理內容
必背
多項式 f(x) 除以 (x - a) 的餘式為
餘式 $= f(a)$
🧠 記憶提示
「除以 (x-a)，代入 a」
符號相反！
📝 例題
求 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4$ 除以 $(x - 2)$ 的餘式。
除以 $(x-2)$，代入 $x = 2$
$f(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 3(2) - 4$
$= 8 - 8 + 6 - 4 = \mathbf{2}$
2️⃣
因式定理 Factor Theorem
📌 定理內容
必背
$(x - a)$ 是 $f(x)$ 的因式 $\Leftrightarrow f(a) = 0$
⚡ 秒殺應用
• 若 $f(a) = 0$，則 $(x-a)$ 是因式
• 若 $(x-a)$ 是因式，則 $f(a) = 0$
• 常試的數值：$\pm 1, \pm 2, \pm 3$（常數項的因數）
📝 例題
因式分解 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$
試 $f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓
$(x-1)$ 是因式
長除法：$f(x) = (x-1)(x^2-5x+6)$
$= (x-1)(x-2)(x-3)$
3️⃣
多項式除法 Polynomial Division
⚡ 長除法步驟（詳細示範）
例
：$(2x^3 + 5x^2 - x + 3) \div (x + 2)$
Step 1
：首項除首項
$2x^3 \div x = \mathbf{2x^2}$
Step 2
：乘回除數
$2x^2 \times (x+2) = 2x^3 + 4x^2$
Step 3
：相減
$(2x^3 + 5x^2) - (2x^3 + 4x^2) = \mathbf{x^2}$
Step 4
：落下一項，重複
$(x^2 - x) \div x = \mathbf{x}$...
最終答案
：商 = $2x^2 + x - 3$，餘 = $9$
🧠 計算機驗算
代入任意 x 值（如 x = 1）
原式 = 商 × 除式 + 餘數
$9 = 0 \times 3 + 9$ ✓
多項式除法恆等式
$f(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x)$
被除式 = 商式 × 除式 + 餘式
4️⃣
綜合除法 Synthetic Division
⚡ 比長除法更快！
當除式是 $(x - a)$ 形式時可用：
例：$(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) \div (x-1)$
$\begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array}$
結果：$x^2 - 5x + 6$，餘數 0
5️⃣
DSE 陷阱
❌ 常見錯誤
❌ 陷阱 1：餘式定理符號
$f(x)$ 除以 $(x+2)$，餘式 = $f(2)$ ❌
✓ 正確：餘式 = $f(-2)$（括號內變號！）
❌ 陷阱 2：除以 $(2x-1)$ 時
代入 $x = 1$ ❌
✓ 正確：代入 $x = \dfrac{1}{2}$（令 $2x-1=0$ 解得）
❌ 陷阱 3：因式定理雙向
$(x-a)$ 是因式 ↔ $f(a) = 0$
✓ 兩個方向都成立，DSE 常考「反向」應用
📋
DSE 標準理由速查表
⚠️ DSE 考試必寫理由！
定理 / 概念
DSE 標準理由
餘式定理
remainder theorem
因式定理
factor theorem
長除法
long division
綜合除法
synthetic division