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📦 面積與體積攻略

Mensuration | 平面圖形・立體圖形

1️⃣平面圖形面積 2D Shapes
📌 面積公式 必背
圖形 面積公式
正方形 $A = a^2$
長方形 $A = l \times w$
三角形 $A = \dfrac{1}{2}bh$
平行四邊形 $A = bh$
梯形 $A = \dfrac{1}{2}(a+b)h$
圓形 $A = \pi r^2$
扇形 $A = \dfrac{\theta}{360°}\pi r^2$
2️⃣立體圖形 3D Shapes
📌 體積與表面積公式 必背
立體 體積 V 表面積 S
正方體 $a^3$ $6a^2$
長方體 $lwh$ $2(lw+lh+wh)$
圓柱體 $\pi r^2 h$ $2\pi r^2 + 2\pi rh$
圓錐體 $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ $\pi r^2 + \pi rl$
球體 $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ $4\pi r^2$
角錐體 $\dfrac{1}{3} \times \text{底面積} \times h$ 底面積 + 側面積
⚡ 記憶提示
• 錐體體積 = $\dfrac{1}{3}$ × 柱體
• 球體體積:$\dfrac{4}{3}\pi r^3$(四三 π r³)
• 球體表面積:$4\pi r^2$(四 π r²)
3️⃣相似圖形比例 Similar Shapes
若線性比例為 k:1
面積比 = $k^2 : 1$
體積比 = $k^3 : 1$
⚡ DSE 常考
• 線性放大 2 倍 → 面積放大 4 倍 → 體積放大 8
• 線性放大 3 倍 → 面積放大 9 倍 → 體積放大 27
4️⃣DSE 陷阱
❌ 常見錯誤
❌ 陷阱 1:錐體公式忘記 1/3
圓錐體積 = $\pi r^2 h$ ❌
✓ 正確:$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$
❌ 陷阱 2:球體公式混淆
表面積:$4\pi r^2$(四個大圓面積)
體積:$\dfrac{4}{3}\pi r^3$
✓ 球體公式:表面積 = 4πr²,體積 = (4/3)πr³
❌ 陷阱 3:相似比例搞錯
面積比 = 線性比 ❌
✓ 面積比 = 線性比²,體積比 = 線性比³
📋DSE 標準理由速查表
⚠️ DSE 考試必寫理由!
公式 DSE 標準理由
圓周長 circumference = 2πr
圓面積 area of circle = πr²
弧長 arc length = rθ (θ in radians)
扇形面積 area of sector = ½r²θ
球體積 volume of sphere = 4/3 πr³
球表面積 surface area of sphere = 4πr²
相似比例 similar figures: linear ratio k, area ratio k², volume ratio k³