不等式完全攻略 | MathsKiller DSE 數學筆記

1️⃣不等式基本性質 Properties

📌 運算法則必背

① 加減法：$a > b \Rightarrow a + c > b + c$

② 正數乘除：$a > b, c > 0 \Rightarrow ac > bc$

③ 負數乘除：$a > b, c < 0 \Rightarrow ac < bc$（符號反轉！）

🧠 記憶重點

乘除負數 → 符號要反轉
加減任何數 → 符號不變

2️⃣線性不等式 Linear Inequalities

📝 例題

解 $3x - 7 \leq 2x + 5$

$3x - 2x \leq 5 + 7$

$x \leq 12$

⚡ 秒殺技巧

• 移項：x 項放一邊，常數項放另一邊
• 注意：除以負數時，符號要反轉！

3️⃣二次不等式 Quadratic Inequalities

📌 解法步驟必考

⚡ 標準流程

Step 1：移項使右邊 = 0
Step 2：因式分解 $(x-a)(x-b) \lessgtr 0$
Step 3：畫數軸，標出 a, b
Step 4：判斷符號，寫出解

不等式類型	解的形式	記憶提示
$(x-a)(x-b) > 0$	$x < a$ 或 $x > b$	「大於 → 兩邊跑」
$(x-a)(x-b) < 0$	$a < x < b$	「小於 → 夾中間」

📝 例題

解 $x^2 - 5x + 6 < 0$

因式分解：$(x-2)(x-3) < 0$

根為 $x = 2$ 和 $x = 3$

小於 → 夾中間：$\mathbf{2 < x < 3}$

4️⃣複合不等式 Compound Inequalities

📊 AND（且）- 4 種情況

複合不等式	方向	答案
$x \leq 1$ and $x < 3$	同向 ←←	$x \leq 1$
$x \geq 1$ and $x > 3$	同向 →→	$x > 3$
$x \geq 1$ and $x < 3$	相向 →←	$1 \leq x < 3$（夾住）
$x \leq 1$ and $x > 3$	反向 ←→	No solutions

📊 OR（或）- 4 種情況

複合不等式	方向	答案
$x \leq 1$ or $x < 3$	同向 ←←	$x < 3$
$x \geq 1$ or $x > 3$	同向 →→	$x \geq 1$
$x \geq 1$ or $x < 3$	相向 →←	All real numbers
$x \leq 1$ or $x > 3$	反向 ←→	$x \leq 1$ or $x > 3$

⚡ 解題技巧（必背！）

① 同方向：選一個答案
  • AND → 取範圍較小的
  • OR → 取範圍較大的

② 不同方向：
  • AND → 夾住或 No solutions
  • OR → All real numbers 或無得 combine

③ 特殊情況：
  • OR 永遠唔會 No solutions
  • AND 永遠唔會 All real numbers

🧠 同一數值的特殊情況

$x \geq 7$ AND $x \leq 7$ → $x = 7$
$x > 7$ OR $x < 7$ → 所有實數（除 7）

5️⃣DSE 陷阱 & 進階

❌ 常見錯誤

❌ 陷阱 1：除以負數忘記反轉
$-2x > 6 \Rightarrow x > -3$ ❌
✓ 正確：$x < -3$（除以 -2 要反轉！）

❌ 陷阱 2：≤ 和 < 混淆
$(x-2)(x-3) \leq 0$ 解為 $2 < x < 3$ ❌
✓ 正確：$2 \leq x \leq 3$（要包含端點！）

❌ 陷阱 3：整數解題目
$-1 < x \leq 3$ 有幾多個整數解？
✓ 答案：0, 1, 2, 3（共 4 個，唔包 -1！）

🔷 進階：分式不等式

⚡ 解法

解 $\dfrac{x-1}{x+2} > 0$：

Step 1：標出零點：$x = 1$（分子）和 $x = -2$（分母）
Step 2：畫數軸，分成三段測試符號
Step 3：選「正」的區間：$x < -2$ 或 $x > 1$

📋DSE 標準理由速查表

⚠️ DSE 考試必寫理由！

性質	DSE 標準理由
兩邊同乘負數要變號	multiplying by a negative number reverses the inequality
二次不等式	solving quadratic inequality

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