指數與對數完全攻略 | MathsKiller DSE 數學筆記

1️⃣指數法則 Laws of Indices

📌 基本指數法則必背

$a^m \times a^n = a^{m+n}$（同底相乘，指數相加）

$a^m \div a^n = a^{m-n}$（同底相除，指數相減）

$(a^m)^n = a^{mn}$（次方的次方，指數相乘）

$(ab)^n = a^n b^n$（積的次方，分別升冪）

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$（商的次方，分別升冪）

📌 特殊指數必背

$a^0 = 1$（零次方 = 1）

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$（負指數 = 倒數）

$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$（分數指數 = 根號）

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$

🧠 記憶提示

同底乘 → 指數加
同底除 → 指數減
次方次方 → 指數乘

2️⃣對數法則 Laws of Logarithms

📌 對數定義

$\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$

「以 a 為底 b 的對數 = c」等價於「a 的 c 次方 = b」

📌 對數法則必背

$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$（積的對數 = 對數之和）

$\log_a \left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N$（商的對數 = 對數之差）

$\log_a M^n = n \log_a M$（冪的對數 = 指數乘對數）

$\log_a a = 1$（底的對數 = 1）

$\log_a 1 = 0$（1 的對數 = 0）

$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$（換底公式）

⚡ 秒殺技巧

• 見 log 內「乘」→ 拆成「加」
• 見 log 內「除」→ 拆成「減」
• 見 log 內「次方」→ 指數提前乘
• 計算機用 lg（以 10 為底）或 ln（以 e 為底）

3️⃣解方程 Solving Equations

📌 指數方程

⚡ 解法

方法 1：化同底，比較指數
例：$2^x = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x = 3$

方法 2：兩邊取對數
例：$3^x = 10 \Rightarrow x \log 3 = \log 10 \Rightarrow x = \dfrac{1}{\log 3}$

📌 對數方程

⚡ 解法

方法 1：合併對數，轉指數形式
例：$\log_2 x = 3 \Rightarrow x = 2^3 = 8$

方法 2：用對數法則化簡
例：$\log x + \log(x+3) = 1$
$\Rightarrow \log[x(x+3)] = 1$
$\Rightarrow x(x+3) = 10$

4️⃣常見錯誤 Common Mistakes

❌ 錯誤	✓ 正確
$\log(a+b) = \log a + \log b$	$\log(ab) = \log a + \log b$
$\log a \times \log b = \log(ab)$	$\log a + \log b = \log(ab)$
$(\log a)^2 = \log a^2$	$2\log a = \log a^2$
$a^m + a^n = a^{m+n}$	$a^m \times a^n = a^{m+n}$

⚡ DSE 必記重點

• $\log(a+b) \neq \log a + \log b$（加法冇得拆！）
• 對數方程解出後要驗算（log 入面要 > 0）
• 換底公式：$\log_a b = \dfrac{\lg b}{\lg a}$

🔢 計算機操作（CASIO）

① lg（常用對數，以 10 為底）
直接按 log 鍵
例：$\log 100$ → log 100 = 2

② ln（自然對數，以 e 為底）
按 ln 鍵
例：$\ln e^3$ → ln e^3 = 3

③ 任意底對數（換底公式）
$\log_2 8 = \dfrac{\log 8}{\log 2}$
→ log 8 ÷ log 2 = 3

④ 指數方程解 x
$2^x = 10$ → $x = \dfrac{\log 10}{\log 2}$
→ log 10 ÷ log 2 = 3.32

5️⃣DSE 進階題型

📝 例題：複合對數

若 $\log_2 3 = a$，求 $\log_8 27$。

$\log_8 27 = \dfrac{\log_2 27}{\log_2 8}$（換底）

$= \dfrac{\log_2 3^3}{\log_2 2^3} = \dfrac{3\log_2 3}{3} = \log_2 3$

$= a$

⚡ 換底秒殺

見到底和真數都可以寫成某數嘅次方時：
$\log_{a^m} b^n = \dfrac{n}{m} \log_a b$

📋DSE 標準理由速查表

⚠️ DSE 考試必寫理由！

定理 / 法則	DSE 標準理由
指數法則	laws of indices
對數法則	laws of logarithms
換底公式	change of base formula
對數定義	definition of logarithm

🔢 指數與對數攻略