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📘 MathsKiller 獨家筆記
🔢 恆等式與因式分解
Identities & Factorization
1️⃣
代數恆等式 Algebraic Identities
📌 必背恆等式
必背
① 平方差
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
② 完全平方和
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
③ 完全平方差
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
④ 立方和
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
⑤ 立方差
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
🧠 記憶提示
平方差：「和乘差」
完全平方：「頭平尾平二倍中」
立方公式：「首項定正負，中間永遠反」
2️⃣
因式分解方法 Factorization
📌 四大方法
⚡ 方法 1：提取公因子
$6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$
找出所有項的
最大公因子
，提取出來
⚡ 方法 2：分組分解
$ax + ay + bx + by$
$= a(x+y) + b(x+y)$
$= (a+b)(x+y)$
⚡ 方法 3：運用恆等式
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x+3)(x-3)$
識別
平方差、完全平方
等形式
⚡ 方法 4：十字相乘法
對於 $ax^2 + bx + c$，找兩數 p, q 使：
• $p + q = b$
• $p \times q = ac$
3️⃣
DSE 常見題型
📝 例題：因式分解 $x^2 + 5x + 6$
找兩數：和 = 5，積 = 6
兩數為 2 和 3
$= (x+2)(x+3)$
📝 例題：因式分解 $2x^2 - 7x + 3$
$ac = 2 \times 3 = 6$，找和 = -7，積 = 6
兩數為 -1 和 -6
$= 2x^2 - x - 6x + 3$
$= x(2x-1) - 3(2x-1) = (x-3)(2x-1)$
4️⃣
DSE 陷阱
❌ 常見錯誤
❌ 陷阱 1：立方和/差公式
$a^3 + b^3 = (a+b)^3$ ❌
✓ 正確：$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
❌ 陷阱 2：平方和不能分解
$a^2 + b^2 = (a+b)(a-b)$ ❌
✓ $a^2 + b^2$ 在實數範圍內
不能
因式分解！
❌ 陷阱 3：完全平方符號
$(a-b)^2 = a^2 - b^2$ ❌
✓ 正確：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
📋
DSE 標準理由速查表
⚠️ DSE 考試必寫理由！
恆等式 / 方法
DSE 標準理由
完全平方公式
perfect square identity
平方差公式
difference of squares
立方和/差公式
sum/difference of cubes
十字相乘法
cross-multiplication method
提取公因式
taking out common factor
分組因式分解
grouping