直線方程完全攻略 | MathsKiller DSE 數學筆記

1️⃣直線方程三種形式

📌 方程形式必背

從一般式讀取資訊

斜率 $m = -\dfrac{a}{b}$

y 截距 $= -\dfrac{c}{b}$

x 截距 $= -\dfrac{c}{a}$

2️⃣斜率 Slope

$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{\text{y 的變化}}{\text{x 的變化}}$

⚡ 斜率判斷

• $m > 0$：向右上傾斜 ↗
• $m < 0$：向右下傾斜 ↘
• $m = 0$：水平線 →
• $m$ 未定義：垂直線 ↑

傾斜角 θ

$m = \tan\theta$

θ 是直線與 x 軸正向的夾角（0° ≤ θ < 180°）

3️⃣平行與垂直 Parallel & Perpendicular

平行線

$m_1 = m_2$（斜率相等）

垂直線

$m_1 \times m_2 = -1$（斜率相乘 = -1）

🧠 記憶提示

平行 → 斜率「相同」
垂直 → 斜率「負倒數」

⚡ 秒殺技巧

若 $L_1$ 斜率為 $\dfrac{a}{b}$
則垂直線 $L_2$ 斜率為 $-\dfrac{b}{a}$
（上下對調，加負號）

4️⃣點到直線距離

點 $(x_0, y_0)$ 到直線 $ax + by + c = 0$ 的距離

$d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

🧠 記憶提示

「代入上面絕對值，除以根號下平方和」

5️⃣DSE 陷阱

❌ 常見錯誤

❌ 陷阱 1：斜率公式分子分母
$m = \dfrac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$ ❌
✓ 正確：$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$（y 在上！）

❌ 陷阱 2：垂直線斜率
垂直線斜率 = 0 ❌
✓ 正確：垂直線斜率未定義（水平線斜率 = 0）

❌ 陷阱 3：點到線距離漏絕對值
距離可以是負數 ❌
✓ 距離永遠是正數！分子要加絕對值！

📋DSE 標準理由速查表

⚠️ DSE 考試必寫理由！

形式 / 性質	DSE 標準理由
斜截式 y = mx + c	slope-intercept form
點斜式	point-slope form
兩點式	two-point form
截距式	intercept form
平行線	parallel lines have equal slopes
垂直線	product of slopes of ⊥ lines = -1

📏 直線方程完全攻略