圓方程完全攻略 | MathsKiller DSE 數學筆記

1️⃣圓方程兩種形式

📌 標準式 vs 一般式必背

① 標準式 Center-Radius Form

$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$

圓心 $(h, k)$，半徑 $r$

② 一般式 General Form

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

圓心 $= \left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$

半徑 $r = \sqrt{\dfrac{D^2}{4} + \dfrac{E^2}{4} - F}$

🧠 記憶提示

「D、E 係數除 2 變號做圓心」
「根號下 D²/4 + E²/4 - F 做半徑」

2️⃣MC 秒殺技巧

⚡ 快速讀取圓心

從 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$
圓心 x 坐標 = -D/2（D 係數除 2 變號）
圓心 y 坐標 = -E/2（E 係數除 2 變號）

📝 例題

求 $x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0$ 的圓心和半徑

D = -6，E = 8，F = -11

圓心 = $(-\frac{-6}{2}, -\frac{8}{2}) = (3, -4)$

$r = \sqrt{9 + 16 + 11} = \sqrt{36} = 6$

3️⃣直線與圓的關係

圓心到直線距離 d 與半徑 r 比較

$d > r$ → 相離（0 交點）

$d = r$ → 相切（1 交點）

$d < r$ → 相交（2 交點）

點到直線距離公式

$d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

⚡ 切線性質

• 切線與半徑垂直
• 切點到圓心距離 = 半徑
• 從外點引兩切線，切線長相等

4️⃣求圓方程常見方法

📌 方法 1：已知圓心和半徑

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

直接代入圓心 $(h, k)$ 和半徑 $r$

📌 方法 2：已知直徑兩端點

⚡ 秒殺公式

設直徑端點 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$：

$(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$

原理：直徑所對圓周角 = 90°

📌 方法 3：過三點求圓

⚡ 解法

設圓方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$
將三點代入，得三條方程，解 D、E、F

5️⃣進階技巧

⭐ 兩圓關係判斷

❌ DSE 陷阱

❌ 陷阱 1：圓心符號
$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 16$ 圓心是 $(3, -2)$ ❌
✓ 正確：圓心 $(-3, 2)$，記住要變號！

❌ 陷阱 2：半徑與半徑平方
$r^2 = 16$ 所以半徑 = 16 ❌
✓ 正確：半徑 = $\sqrt{16} = 4$

❌ 陷阱 3：一般式 F 的符號
半徑公式：$r = \sqrt{\dfrac{D^2}{4} + \dfrac{E^2}{4} - F}$
✓ 注意 F 前面是減號！

📋DSE 標準理由速查表

⚠️ DSE 考試必寫理由！

性質	DSE 標準理由
圓的標準方程	standard form of equation of circle
圓的一般方程	general form of equation of circle
圓心坐標	centre = (-D/2, -E/2)
半徑公式	radius = √(D²/4 + E²/4 - F)
點在圓內/上/外	substitution

⭕ 圓方程完全攻略