坐標幾何完全攻略 | MathsKiller DSE 數學筆記

1️⃣基本公式 Basic Formulas

📌 點的公式必背

兩點距離：$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

中點坐標：$M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$

斜率：$m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

🧠 記憶提示

距離 = 根號下平方和
中點 = 坐標平均
斜率 = y 變除以 x 變

2️⃣直線方程 Equations of Lines

📌 直線方程形式

① 斜截式

$y = mx + c$

m = 斜率，c = y 截距

② 點斜式

$y - y_1 = m(x - x_1)$

過點 $(x_1, y_1)$，斜率為 m

③ 一般式

$ax + by + c = 0$

⚡ 平行與垂直

• 平行線：斜率相等 $m_1 = m_2$
• 垂直線：斜率相乘 = -1，即 $m_1 \times m_2 = -1$

3️⃣圓方程 Equations of Circles

📌 圓方程兩種形式必背

① 標準式（Center-Radius Form）

$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$

圓心 $(h, k)$，半徑 $r$

② 一般式（General Form）

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

圓心 $= \left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$
半徑 $r = \sqrt{\dfrac{D^2}{4} + \dfrac{E^2}{4} - F}$

圓心 (h, k)，半徑 r

⚡ 秒殺技巧

從一般式快速讀取圓心：
• D 係數除 2 再變號 → x 坐標
• E 係數除 2 再變號 → y 坐標

例：$x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0$
→ 圓心 $= (3, -4)$，半徑 $= \sqrt{9 + 16 + 11} = 6$

4️⃣直線與圓的關係

📌 判斷直線與圓的位置

設圓心到直線的距離為 d，半徑為 r

$d > r$ → 相離（0 個交點）
$d = r$ → 相切（1 個交點）
$d < r$ → 相交（2 個交點）

點到直線距離公式

$d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

點 $(x_0, y_0)$ 到直線 $ax + by + c = 0$ 的距離

🧠 記憶提示

「代入上面，除以根下平方和」

5️⃣進階技巧 Advanced

⭐ 分點公式 Section Formula

P 分 AB 成 m : n

$P = \left(\dfrac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \dfrac{my_2 + ny_1}{m+n}\right)$

A$(x_1, y_1)$，B$(x_2, y_2)$，P 分 AB 成 m : n（從 A 到 B）

⚡ 秒殺記憶

「遠大近小」
P 靠近 A → A 嘅係數較小（n）
P 靠近 B → B 嘅係數較大（m）

中點公式（特殊情況 m = n = 1）：
$M = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$

🔷 坐標三角形面積

面積 $= \dfrac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

⚡ 鞋帶公式（更易記！）

將三點坐標排成：
$\begin{array}{cc} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \\ x_1 & y_1 \end{array}$

面積 = $\dfrac{1}{2}|$左下斜乘 − 右下斜乘$|$
= $\dfrac{1}{2}|(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1)|$

❌ DSE 陷阱題型

❌ 陷阱 1：斜率公式分子分母搞亂
$m = \dfrac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$ ❌
✓ 正確：$m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$（y 在上！）

❌ 陷阱 2：垂直線斜率相乘忘記負號
$m_1 \times m_2 = 1$ ❌
✓ 正確：$m_1 \times m_2 = -1$（係負 1！）

❌ 陷阱 3：圓心坐標符號錯誤
$x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ 圓心 = $(-3, 4)$ ❌
✓ 正確：圓心 = $(3, -4)$（係數除 2 再變號！）

❌ 陷阱 4：點到直線距離漏絕對值
✓ 分子要加絕對值！距離永遠係正數

7️⃣驗算技巧 Verification Tips

⚡ 代坐標驗算（必學！）

情況：題目給咗圖像中的一點坐標

做法：
① 從圖中讀出一個整數坐標點
② 將坐標代入你求出的方程
③ 如果成立 → 答案正確 ✓

例：
求出直線方程 $y = 2x + 3$
圖中經過點 (1, 5)
代入：$5 = 2(1) + 3 = 5$ ✓

🧠 考試必記

有圖 → 搵整數點代入驗算
無圖 → 用計算機代特殊值 check

📋DSE 標準理由速查表

⚠️ DSE 考試必寫理由！

公式	DSE 標準理由
兩點距離	distance formula
中點公式	mid-point formula
斜率公式	slope formula
分點公式	section formula
平行線斜率相等	parallel lines have equal slopes
垂直線斜率乘積 = -1	perpendicular lines: m₁ × m₂ = -1

📍 坐標幾何完全攻略