圓形性質完全攻略 | MathsKiller DSE 數學筆記

1️⃣ 圓心角與圓周角 Central & Inscribed Angles

📐 基本定義

📌 定理 1：圓心角 = 2 × 圓周角（同弧）

對於同一條弧：

圓心角：頂點在圓心的角
圓周角：頂點在圓周上的角

$\angle AOB = 2 \times \angle ACB$

圓心角 ∠AOB = 2 × 圓周角 ∠ACB（對同一條弧 AB）

⚡ 解題技巧

「圓心 Double」 — 見到圓心角，即刻除 2 得圓周角！
「圓周 Half」 — 見到圓周角，乘 2 得圓心角！

📝 例題 1

在圖中，O 為圓心，∠AOB = 124°。求 ∠ACB。

∠AOB 是圓心角，∠ACB 是同弧上的圓周角

$\angle ACB = \dfrac{124°}{2} = 62°$

📋 DSE 理由：
∠ at centre = 2 × ∠ at circumference
（圓心角 = 2 × 同弧圓周角）

📊 DSE 考核年份

2024/Q20 2023/Q38 2022/Q37 2021/Q39 2020/Q36 2019/Q38

2️⃣ 同弧上的圓周角 Angles in Same Segment

📌 定理 2：同弧上的圓周角相等

在同一條弧上的所有圓周角都相等。

$\angle ACB = \angle ADB = \angle AEB$（同弧 AB 上）

∠ACB = ∠ADB = ∠AEB（同弧上的圓周角相等）

⚡ 解題技巧

「同弧同角」 — 同一條弧，所有圓周角都一樣大！

🧠 記憶技巧

同弧 = 同角
弧相同 → 角相等

3️⃣ 半圓上的圓周角 Angle in Semicircle

🔥 DSE 最高頻考點之一必考

📌 定理 3：半圓上的圓周角 = 90°

當圓周角所對的弧是半圓（即弦是直徑）時，該圓周角 = 90°。

若 AB 是直徑，則 $\angle ACB = 90°$

直徑 AB 所對的圓周角 ∠ACB = 90°

⚡ 解題技巧

「半圓直角」 — 見到直徑，對面嘅角一定係 90°！

逆用：見到 90° 角在圓周上 → 佢對住嘅弦係直徑！

💡 證明思路：因為直徑對應嘅圓心角 = 180°（平角），
所以圓周角 = 180° ÷ 2 = 90°

❌ 常見錯誤

以為任何弦都對 90° 角 ❌
✓ 只有直徑先會對 90° 角！

4️⃣ 圓內接四邊形 Cyclic Quadrilateral

🔷 圓內接四邊形性質高頻

📌 定理 4：圓內接四邊形對角和 = 180°

若四邊形 ABCD 內接於圓，則對角之和 = 180°。

$\angle A + \angle C = 180°$
$\angle B + \angle D = 180°$

圓內接四邊形 ABCD：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°

⚡ 解題技巧

「內接對角 180」 — 圓內接四邊形，對角加埋 180°！

📌 定理 4b：外角 = 內對角

圓內接四邊形的外角 = 內對角

外角 $\angle DCE$ = 內對角 $\angle DAB$

📝 例題 2 (2024 DSE Q20)

在圓內接四邊形 ABCD 中，∠ABC = 110°，∠BCD = 80°。求 ∠CDA。

圓內接四邊形對角和 = 180°

∠ABC + ∠CDA = 180°
110° + ∠CDA = 180°
∠CDA = 70°

📋 DSE 理由：
opp. ∠s, cyclic quad.
（圓內接四邊形的對角）

5️⃣ 切線性質 Tangent Properties

📍 切線基本性質

📌 定理 5：切線 ⊥ 半徑

切線與過切點的半徑垂直。

切線 TA ⊥ 半徑 OA（在切點 A）

切線 TA 與半徑 OA 垂直（夾角 90°）

📌 定理 6：外點切線等長

從圓外一點到圓的兩條切線長度相等。

$PA = PB$（P 為外點，A、B 為切點）

從外點 P 到圓的兩條切線長度相等：PA = PB

⚡ 解題技巧

• 「切垂半徑」 — 切線垂直半徑，切點即直角！
• 「外點等切」 — 外點畫兩條切線，長度相等！

見到切線，即刻畫半徑連接切點，形成直角三角形！

📝 例題 3 (2024 DSE Q21)

PA 和 PB 是圓 O 的切線，A 和 B 是切點。若 ∠APB = 50°，求 ∠AOB。

∠PAO = ∠PBO = 90° （tangent ⊥ radius）

四邊形 PAOB 內角和 = 360°
50° + 90° + ∠AOB + 90° = 360°
∠AOB = 130°

📋 DSE 理由：
tangent ⊥ radius
∠ sum of polygon
（切線 ⊥ 半徑；多邊形內角和）

💡 快捷公式：∠AOB + ∠APB = 180°（切線夾角與圓心角互補）

6️⃣ 弦切角 Tangent-Chord Angle

📌 定理 7：弦切角 = 內錯弧的圓周角

切線與弦的夾角（弦切角）等於該弦所對的圓周角（在弦的另一側）。

弦切角 $\angle TAB$ = 圓周角 $\angle ACB$（同弧 AB）

弦切角 ∠TAB = 圓周角 ∠ACB（對住同一條弧 AB）

⚡ 解題技巧

「弦切 = 圓周」 — 弦切角等於同弧嘅圓周角！
見到切線同弦形成嘅角，即刻搵圓周上嘅點！

7️⃣ 秒殺技巧總結 Quick-Kill Summary

⚡ 圓形性質總結

🧠 七大解題技巧

1️⃣ 圓心 Double — 圓心角 = 2 × 圓周角
2️⃣ 同弧同角 — 同弧圓周角相等
3️⃣ 半圓直角 — 直徑對 90°
4️⃣ 內接對角 180 — 圓內接四邊形對角和
5️⃣ 切垂半徑 — 切線 ⊥ 半徑
6️⃣ 外點等切 — 外點兩切線等長
7️⃣ 弦切 = 圓周 — 弦切角 = 同弧圓周角

見到咩	即刻諗到	公式
圓心 O + 兩條半徑	圓心角 = 2倍圓周角	∠O = 2∠圓周
同一條弧上多個角	同弧圓周角相等	∠1 = ∠2 = ∠3
直徑	對面圓周角 = 90°	∠ = 90°
圓內接四邊形	對角互補	∠A + ∠C = 180°
切線	畫半徑，形成直角	切線 ⊥ 半徑
外點 + 兩條切線	切線等長	PA = PB
切線 + 弦	弦切角 = 圓周角	∠TAB = ∠ACB

🎯 答題策略

📋 見到圓形題的標準流程

Step 1：標注所有已知資料
Step 2：搵圓心、直徑、切點
Step 3：辨認有冇「圓內接四邊形」
Step 4：套用對應定理
Step 5：用角度關係計算

8️⃣ DSE 真題實戰 Past Paper Practice

📝 歷年 DSE 圓形題精選

🔵 練習 1：2023 DSE Paper 2 Q38

在圖中，AB 是圓 O 的直徑。C 是圓上的點，且 ∠BAC = 35°。求 ∠ABC。

答案：55°
∠ACB = 90° (∠ in semi-circle)
∠ABC = 180° - 90° - 35° = 55° (∠ sum of △)

🔵 練習 2：2022 DSE Paper 2 Q37

在圖中，O 是圓心，∠AOB = 140°。C 是圓上的點（與 O 在弧 AB 的異側）。求 ∠ACB。

答案：70°
∠ACB = 140° ÷ 2 = 70° (∠ at centre twice ∠ at ⊙^ce)

🔵 練習 3：2021 DSE Paper 2 Q39

ABCD 是圓內接四邊形。若 ∠ABC = 108°，∠BCD = 95°，求 ∠CDA。

答案：72°
∠ABC + ∠CDA = 180° (opp. ∠s, cyclic quad.)
108° + ∠CDA = 180°
∠CDA = 72°

9️⃣ 進階技巧 Advanced Techniques

⭐ 圓冪定理 Power of a Point（DSE 高分必識！）

📌 相交弦定理 Intersecting Chords

兩條弦 AB 和 CD 相交於點 P，則：

$PA \times PB = PC \times PD$

📌 割線定理 Secant-Secant

從圓外一點 P 引兩條割線 PAB 和 PCD，則：

$PA \times PB = PC \times PD$

📌 切割線定理 Tangent-Secant

從圓外一點 P 引切線 PT（T 為切點）和割線 PAB，則：

$PT^2 = PA \times PB$

⚡ 圓冪定理秒殺記憶

「乘積相等」 — 無論弦相交、割線、切割線，都係乘積關係！

• 相交弦：PA × PB = PC × PD
• 兩割線：PA × PB = PC × PD
• 切割線：PT² = PA × PB（切線平方 = 割線兩段乘積）

📝 例題：圓冪定理應用

圓外一點 P 到圓的切線長為 6，從 P 引一割線交圓於 A、B 兩點，若 PA = 4，求 PB。

切割線定理：$PT^2 = PA \times PB$

$6^2 = 4 \times PB$
$36 = 4 \times PB$

$PB = \dfrac{36}{4} = 9$

🔷 兩圓關係（DSE Paper 2 常考！）

位置關係	條件	公切線數目
外離	$d > R + r$	4 條
外切	$d = R + r$	3 條
相交	$\|R - r\| < d < R + r$	2 條
內切	$d = \|R - r\|$	1 條
內離（同心除外）	$d < \|R - r\|$	0 條

⚡ 兩圓判斷秒殺

設兩圓半徑 R、r（R ≥ r），圓心距 d：

「和差判斷法」
• d 同 R+r 比 → 判斷外部關係
• d 同 R-r 比 → 判斷內部關係

交點數目：
• 外離/內離 → 0 個交點
• 外切/內切 → 1 個交點
• 相交 → 2 個交點

🎯 DSE 陷阱題型分析

❌ 常見錯誤 1：混淆圓心角和圓周角

以為任何角都是圓心角 ❌
✓ 圓心角的頂點必須在圓心！圓周角的頂點在圓周上！

❌ 常見錯誤 2：忘記檢查「同弧」條件

見到兩個圓周角就以為相等 ❌
✓ 只有對住同一條弧的圓周角才相等！

❌ 常見錯誤 3：半圓角度條件

見到弦就用 90° ❌
✓ 只有直徑（經過圓心的弦）對的圓周角才是 90°！

⚡ 防錯 Checklist

做圓形題時，必須確認：
☐ 角的頂點位置（圓心？圓周？圓外？）
☐ 是否對同一條弧
☐ 弦是否是直徑
☐ 四邊形四個頂點是否都在圓上
☐ 直線是否真正相切（只有一個交點）

📋 DSE 標準理由速查表 Standard Reasons

⚠️ DSE 考試必寫理由！

在 DSE 考試中，每一步計算都需要寫上正確的理由（reason）才能拿滿分！以下是圓形性質的標準理由：

定理 / 性質	DSE 標準理由（英文）	縮寫
圓心角 = 2 × 圓周角	∠ at centre = 2 × ∠ at circumference	∠ at centre twice ∠ at ⊙^ce
同弧圓周角相等	∠s in the same segment	∠s in same seg.
半圓上的角 = 90°	∠ in semi-circle	∠ in semi-⊙
圓內接四邊形對角和 = 180°	opp. ∠s, cyclic quad.	opp. ∠s, cyc. quad.
外角 = 內對角	ext. ∠, cyclic quad.	ext. ∠, cyc. quad.
切線 ⊥ 半徑	tangent ⊥ radius	tan. ⊥ rad.
外點兩切線等長	tangent from ext. pt.	tan. from ext. pt.
弦切角 = 圓周角	∠ in alt. segment	∠ in alt. seg.
相交弦定理	intersecting chords	int. chords
切割線定理	tangent-secant theorem	tan.-sec. thm.

⚡ 答題格式示範

                        題目：O 為圓心，∠AOB = 140°，求 ∠ACB。

                        標準答案：

                        ∠ACB = 140° ÷ 2

                               = 70° (∠ at centre twice ∠ at ⊙ce)

💡 考試技巧：理由可以用縮寫，但要確保評卷員看得懂！建議背熟標準理由。

⭕ 圓形性質完全攻略

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