代數分式完全攻略 | MathsKiller DSE 數學筆記

1️⃣分式加減乘除 Basic Operations

📌 基本運算法則必背

① 乘法

$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$

② 除法

$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}$

③ 加減法（同分母）

$\dfrac{a}{c} \pm \dfrac{b}{c} = \dfrac{a \pm b}{c}$

④ 加減法（異分母）

$\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad \pm bc}{bd}$

⚡ 秒殺技巧

• 乘法：直接上乘上、下乘下
• 除法：轉乘法，第二個分數倒轉
• 加減：先通分（找 LCD），再加減分子

2️⃣化簡分式 Simplification

📌 化簡步驟

⚡ 標準流程

Step 1：因式分解分子和分母
Step 2：約去公因子
Step 3：寫出最簡形式

📝 例題

化簡 $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$

分子：$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$

分母：$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$

約去 $(x+2)$：$= \dfrac{x-2}{x+2}$

🧠 常用因式分解

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$

3️⃣解分式方程 Solving Fractional Equations

📌 解法步驟

⚡ 標準流程

Step 1：找 LCD（最小公分母）
Step 2：兩邊同乘 LCD，消去分母
Step 3：解一般方程
Step 4：驗算！檢查答案是否令分母 = 0

📝 例題

解 $\dfrac{2}{x-1} + \dfrac{3}{x+1} = 2$

LCD = $(x-1)(x+1)$

$2(x+1) + 3(x-1) = 2(x-1)(x+1)$

$2x+2 + 3x-3 = 2(x^2-1)$

$5x - 1 = 2x^2 - 2$

$2x^2 - 5x - 1 = 0$，用求根公式解

⚠️ 注意！
• 解出答案後，必須驗算
• 若答案令原分母 = 0 → 該答案要拒絕

4️⃣分式四則運算 Operations

📌 加減法

同分母

$\dfrac{a}{c} \pm \dfrac{b}{c} = \dfrac{a \pm b}{c}$

異分母

$\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad \pm bc}{bd}$

⚡ 通分秒殺

「交叉相乘」法：
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}$ → 分子 = ad + bc，分母 = bd

注意：最後要化簡！

📌 乘除法

乘法

$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$

除法

$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}$

⚡ 除法秒殺

「除變乘，倒轉佢」
除以一個分式 = 乘以它的倒數

5️⃣進階技巧 Advanced

⭐ 複雜分式化簡

📝 繁分式化簡

化簡 $\dfrac{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}}{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}}$

分子：$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{y+x}{xy}$

分母：$\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = \dfrac{y-x}{xy}$

$= \dfrac{y+x}{xy} \div \dfrac{y-x}{xy} = \dfrac{y+x}{xy} \times \dfrac{xy}{y-x}$

$= \dfrac{x+y}{y-x}$ 或 $-\dfrac{x+y}{x-y}$

⚡ 繁分式秒殺

「上下同乘 LCD」
找出所有小分母的 LCD，然後上下同乘！

例如上題可以上下同乘 xy，直接消去所有小分母。

❌ DSE 陷阱題型

❌ 陷阱 1：約分錯誤
$\dfrac{x+2}{x+3}$ 唔可以約去 $x$ ❌
✓ 只有公因子才可約！

❌ 陷阱 2：忘記驗算
解分式方程後，冇驗算答案 ❌
✓ 代入原式，檢查分母是否 = 0

❌ 陷阱 3：負號處理錯誤
$\dfrac{a-b}{b-a} = 1$ ❌
✓ 正確：$\dfrac{a-b}{b-a} = \dfrac{a-b}{-(a-b)} = -1$

⚡ 負號處理技巧

「a-b 同 b-a 差個負號」
$(a-b) = -(b-a)$

見到 $\dfrac{a-b}{b-a}$ 即刻知道 = $-1$

6️⃣循環小數轉分數 Recurring Decimals

⚡ 標準步驟

例：將 $0.\dot{5}\dot{3}$ 轉為分數

Step 1：設 $x = 0.535353...$

Step 2：乘以適當數使循環對齊
循環 2 位 → 乘 100
$100x = 53.535353...$

Step 3：相減消去循環部分
$100x - x = 53.535353... - 0.535353...$
$99x = 53$

Step 4：解出分數
$x = \dfrac{53}{99}$

🧠 快速記憶

循環 1 位 → 乘 10
循環 2 位 → 乘 100
循環 3 位 → 乘 1000
記得用計算機 check 可否約簡！

📋DSE 標準理由速查表

⚠️ DSE 考試必寫理由！

運算	DSE 標準理由
約分	simplify / cancel common factors
通分母	common denominator
因式分解	factorization

➗ 代數分式攻略